Derivar la siguiente expresión: 1) $$ y=\sqrt[3]{3 x^{2}}-\frac{1}{\sqrt{5 x}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para derivar la función dada:

$$ y = \sqrt[3]{3x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{5x}} $$

seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Reescribir la función utilizando exponentes fraccionarios

$$
y = (3x^{2})^{\frac{1}{3}} - (5x)^{-\frac{1}{2}}
$$

### Paso 2: Aplicar las reglas de derivación

Recordemos que la derivada de $$ u^n $$ respecto a $$ x $$ es $$ n \cdot u^{n-1} \cdot u' $$.

1. **Para el primer término** $$(3x^{2})^{\frac{1}{3}}$$:

- Exponente: $$ \frac{1}{3} $$
   - Derivada del interior $$ u = 3x^2 $$ es $$ u' = 6x $$

Aplicando la regla:

$$
   \frac{d}{dx} \left( (3x^{2})^{\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot (3x^{2})^{\frac{1}{3} - 1} \cdot 6x = \frac{6x}{3} \cdot (3x^{2})^{-\frac{2}{3}} = 2x \cdot (3x^{2})^{-\frac{2}{3}}
   $$

2. **Para el segundo término** $$ - (5x)^{-\frac{1}{2}} $$:

- Exponente: $$ -\frac{1}{2} $$
   - Derivada del interior $$ u = 5x $$ es $$ u' = 5 $$

Aplicando la regla:

$$
   \frac{d}{dx} \left( - (5x)^{-\frac{1}{2}} \right) = - \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot (5x)^{-\frac{1}{2} - 1} \cdot 5 = \frac{5}{2} \cdot (5x)^{-\frac{3}{2}}
   $$

### Paso 3: Simplificar la expresión derivada

$$
y' = 2x \cdot (3x^{2})^{-\frac{2}{3}} + \frac{5}{2} \cdot (5x)^{-\frac{3}{2}}
$$

Podemos reescribir las potencias negativas como raíces:

$$
y' = \frac{2x}{\sqrt[3]{(3x^{2})^2}} + \frac{5}{2 \cdot \sqrt{(5x)^3}}
$$

Simplificando aún más:

$$
y' = \frac{2x}{\sqrt[3]{9x^{4}}} + \frac{5}{2 \cdot \sqrt{125x^{3}}}
$$

Finalmente, expresando las raíces de manera más clara:

$$
y' = \frac{2x}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}} + \frac{5}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}
$$

### Respuesta Final

La derivada de la función es:

$$
y' = \frac{2x}{\sqrt[3]{9x^{4}}} + \frac{5}{2 \sqrt{125x^{3}}}
$$

O, simplificada:

$$
y' = \frac{2}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}
$$
La derivada de la función $$ y = \sqrt[3]{3x^{2}} - \frac{1}{\sqrt{5x}} $$ es: $$ y' = \frac{2x}{\sqrt[3]{9x^{4}}} + \frac{5}{2 \sqrt{125x^{3}}} $$ O simplificada: $$ y' = \frac{2}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}} $$

Derivar la siguiente expresión:

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

Paso 1: Reescribir la función utilizando exponentes fraccionarios

Paso 2: Aplicar las reglas de derivación

Paso 3: Simplificar la expresión derivada

Respuesta Final

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