תהי A מטריצה הפיכה המקיימת את המשוואה: $$ -5 A^{19}-10 A^{17}+20 A^{16}-50 A^{15}+10 I=0 $$ רשמו את A $$ A^{-1} $$ כפולינום ב- A.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

כדי למצוא את $$ A^{-1} $$ כפולינום ב-$$ A $$, נתחיל מהמשוואה הנתונה:

$$
-5 A^{19} -10 A^{17} +20 A^{16} -50 A^{15} +10 I = 0
$$

נבצע את השלבים הבאים:

1. נחלק את כל המשוואה ב־10 כדי לפשט את המקדמים:

$$
-0.5 A^{19} - A^{17} + 2 A^{16} -5 A^{15} + I = 0
$$

2. נבודד את האחתות:

$$
-0.5 A^{19} - A^{17} + 2 A^{16} -5 A^{15} = -I
$$

3. נכפיל את כל המשוואה ב־(-1) כדי לקבל את $$ I $$ בצד ימין:

$$
0.5 A^{19} + A^{17} - 2 A^{16} + 5 A^{15} = I
$$

4. נכפיל את שני האגפים ב־$$ A^{-1} $$ כדי לבודד את $$ A^{-1} $$:

$$
0.5 A^{18} + A^{16} - 2 A^{15} +5 A^{14} = A^{-1}
$$

ולכן, $$ A^{-1} $$ ניתן לביטוי בצורה של פולינום ב-$$ A $$ באופן הבא:

$$
A^{-1} = \frac{1}{2} A^{18} + A^{16} - 2 A^{15} + 5 A^{14}
$$

**תשובה סופית:**

$$
A^{-1} = \tfrac{1}{2}\,A^{18} + A^{16} - 2\,A^{15} + 5\,A^{14}
$$
$$ A^{-1} = \frac{1}{2}A^{18} + A^{16} - 2A^{15} + 5A^{14} $$

תהי A מטריצה הפיכה המקיימת את המשוואה: \[ -5 A^{19}-10 A^{17}+20 A^{16}-50 A^{15}+10 I=0 \] רשמו את A \( A^{-1} \) כפולינום ב- A.