is the equation of a
circle. Two lines, and , intersect at .
The distance from the center of the circle to each
line is . Find the equation of and the equa-
tion of .

Consideriamo l’equazione del cerchio

x² + y² + 2x – 4y – 20 = 0.

Per determinarne il centro e il raggio completiamo i quadrati:

(x² + 2x) + (y² – 4y) = 20.

x² + 2x = (x + 1)² – 1
  y² – 4y = (y – 2)² – 4.

Quindi l’equazione diventa

(x + 1)² + (y – 2)² – 1 – 4 = 20
  (x + 1)² + (y – 2)² = 25.

Il cerchio ha quindi centro C(–1, 2) e raggio r = 5.

Sappiamo inoltre che due rette L e M si intersecano nel punto P(2, –2) e ciascuna di esse dista 2√5 dal centro C. Troviamo le rette cercando il coefficiente angolare m tale che la retta passante per P abbia distanza 2√5 dal punto C.

Sia la retta in forma punto-pendenza:
  y + 2 = m (x – 2).

Riscriviamola in forma implicita (forma ax + by + c = 0):

y + 2 = m(x – 2) ⟹ mx – 2m – y – 2 = 0.

Pertanto, l’equazione della retta è:
  mx – y – (2m + 2) = 0.

Il teorema della distanza del punto dal piano ci dice che la distanza d fra C(–1, 2) e questa retta è

d = |a(–1) + b(2) + c| / √(a² + b²)
    = |m(–1) – 1·(2) – (2m + 2)| / √(m² + 1).

Calcoliamo il numeratore:

m(–1) – 2 – 2m – 2 = –m – 2m – 2 – 2 = –3m – 4.

La distanza quindi è

|–3m – 4| / √(m² + 1) = 2√5.

Eliminiamo il valore assoluto (notiamo che il segno non influisce perché equazioniamo il valore assoluto) e eleviamo al quadrato per ottenere

(3m + 4)² / (m² + 1) = (2√5)² = 20.

Moltiplichiamo entrambi i membri per (m² + 1):

(3m + 4)² = 20(m² + 1).

Sviluppiamo il lato sinistro:

9m² + 24m + 16 = 20m² + 20.

Spostiamo tutto al lato sinistro:

9m² + 24m + 16 – 20m² – 20 = 0
  –11m² + 24m – 4 = 0
  11m² – 24m + 4 = 0.

Questa equazione quadratica in m ha soluzione data dalla formula risolutiva:

m = [24 ± √(24² – 4·11·4)] / (2·11).

Calcoliamo il discriminante:

Δ = 576 – 176 = 400.

Quindi

m = [24 ± 20] / 22.

Otteniamo così due soluzioni:

m₁ = (24 + 20) / 22 = 44/22 = 2,
  m₂ = (24 – 20) / 22 = 4/22 = 2/11.

Abbiamo dunque due rette con pendenze m = 2 e m = 2/11.

Ora scriviamo le equazioni delle rette passando per il punto P(2, –2).

Riassumendo:

Linea L: y = 2x – 6
  Linea M: y = (2/11)x – (26/11).

Verifica rapida della distanza (ad esempio per la retta L):
La retta L in forma implicita è 2x – y – 6 = 0. La distanza dal punto C(–1, 2) è

d = |2(–1) – 2 – 6| / √(2² + (–1)²) = | –2 – 2 – 6| / √5 = 10 / √5 = 2√5,

come richiesto.

Quindi, le equazioni delle due rette sono quelle trovate.

Risposta finale in italiano:

La retta L ha equazione y = 2x – 6
La retta M ha equazione y = (2/11)x – (26/11).