Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen \( \mathrm{E}_{1}: 2 x_{1}-2 x_{2}+18 x_{3}=36 \) und \( \mathrm{E}_{2} \) : \( -x_{1}+x_{2}-9 x_{3}=-90 \). Die Ebene F ist parallel zu \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F . F: \( +\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{\mathrm{v}} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{\mathrm{v}} \)

Um eine Ebene \( F \) zu finden, die parallel zu den Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) ist und den gleichen Abstand zu beiden hat, müssen wir zuerst den Abstand zwischen den beiden gegebenen Ebenen berechnen. Die Normalenvektoren der Ebenen \( E_1 \) und \( E_2 \) sind \( \hat{n_1} = (2, -2, 18) \) und \( \hat{n_2} = (-1, 1, -9) \). Da die Ebenen parallel sind, können wir die Normalenvektoren in eine gemeinsame Normalenform bringen. Um den Abstand \( d \) zwischen zwei parallelen Ebenen zu berechnen, benutzen wir die Formel: \[ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Hierbei sind \( d_1 \) und \( d_2 \) die konstanten Terme der beiden Ebenen (nach Umstellung in die Normalform), also \( d_1 = 36 \) und \( d_2 = 90 \): Für \( E_1 \): \[ A = 2, B = -2, C = 18 \implies \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 18^2} = \sqrt{4 + 4 + 324} = \sqrt{332} \] Der Abstand wird also: \[ d = \frac{| -90 - 36 |}{\sqrt{332}} = \frac{126}{\sqrt{332}} \] Die neue Ebene \( F \) sollte dann den gleichen Abstand (also \( d \)) haben. Wir können die Gleichung der Ebene \( F \) so formulieren: Nehmen wir an, die neue Konstante \( d_F = d_1 + d \), dann ergibt sich: \[ F: 2x_1 - 2x_2 + 18x_3 = 36 + 126/\sqrt{332} \] Ein Beispiel für den Grenzwert könnte lauten: F: \( 2x_1 - 2x_2 + 18x_3 = 54 \) (nur als Beispiel genommen). Damit kannst du die spezifischen Werte weiter anpassen, jedoch bleibt die Norm des Vektors und die Parallelität bei der folgenden Form. F: \( +2 x_{1}-2 x_{2}+18 x_{3}=54 \) (beispielsweise).