Aufgabe: ( 2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: \( -2 x_{1}-4 x_{2}-4 x_{3}=-8 \) und F: \( 4 x_{1}+8 x_{2}+8 x_{3}=-128 \) Berechne ggf. den Abstand. \( \begin{array}{l}\text { Ebenen sind identisch } \\ \text { Ebenen sind parallel, Abstand der parallelen Ebenen } \mathrm{d}= \\ \text { Ebenen schneiden sich }\end{array} \)

Um die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E und F zu untersuchen, bringen wir beide Gleichungen in die allgemeine Form \( ax + by + cz = d \). Die Ebene E hat bereits die Form \( -2 x_{1}-4 x_{2}-4 x_{3} = -8 \). Wir multiplizieren die gesamte Gleichung von E mit -1, um die Normalenvektoren leichter vergleichen zu können: \( 2 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = 8 \) Die Ebene F lautet \( 4 x_{1}+8 x_{2}+8 x_{3} = -128 \). Jetzt vergleichen wir die Normalenvektoren der beiden Ebenen. Der Normalenvektor von E ist \( (2, 4, 4) \) und von F ist \( (4, 8, 8) \). Beachte, dass der Normalenvektor von F ein Vielfaches des Normalenvektors von E ist: \( (4, 8, 8) = 2 \cdot (2, 4, 4) \). Das zeigt, dass die beiden Ebenen parallel sind. Um den Abstand zwischen den beiden Ebenen zu finden, setzen wir die Schreibweise von F um: \( 4 x_{1}+8 x_{2}+8 x_{3} + 128 = 0 \) Das ergibt den Abstand \( d \) zwischen den parallelen Ebenen mit der Formel: \[ d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] wobei \( C_1 \) und \( C_2 \) die konstanten Terme der Ebenengleichungen sind. Hier ist \( C_1 = 8 \) und \( C_2 = -128 \). Setze die Werte ein: \[ d = \frac{|8 - (-128)|}{\sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2}} = \frac{|136|}{\sqrt{16 + 64 + 64}} = \frac{136}{\sqrt{144}} = \frac{136}{12} \approx 11.33 \] Fazit: Die Ebenen E und F sind parallel, und der Abstand zwischen ihnen beträgt ungefähr 11,33 Einheiten.