EXERCICE 3 Le plan est muni d'un repère orthonormé ( $$ \mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J} $$ ). L'unité graphique est : 2 cm . On donne la fonction $$ f $$ définie sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ par: $$ f(x)=-x+3+\ln (x) $$. On désigne par : - (C), la courbe représentative de $$ f $$ dans le plan muni du repère orthonormé ( $$ \mathrm{O}, \mathrm{L}, \mathrm{J} $$ ). - (T), la tangente à (C) au point d'abscisse 2. Partic A 1. a) Calcule f(1) b) Calcule $$ (4,50) $$ et $$ f(4,51) $$ et donne les resultats arrondis a l'ordre 3 . 2. a) Justifie que : $$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty $$. $$ 0 $$ b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu. 3. On admettra que pour tout nombre réel strictement positif, $$ f(x)=x\left(-1+\frac{3}{x}+\frac{\ln (x)}{x}\right) $$. Calcule : $$ x \rightarrow+\infty $$ Partie B 1. On admet que $$ f $$ est dérivable sur $$ ] 0 ;+\infty $$ [. Vérifie que, pour tout nombre réel $$ x $$ strictement positif, $$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{-x+1}{x} $$. 2. a) Étudie les variations de $$ f $$. b) Dresse le tableau de variations de $$ f $$. 3. Détermine une kquation de ( T ). 4. Justifie que l'tquation $$ J(x)=0 $$, admet une solution unique dans l'intervalle ] 4,50;4,51 [. On admet que l'equation $$ f(x)=0 $$, admet une autre solution dans I'intervalle ] 0,$$ 05 ; 0,06 \% $$. 5. Construis la droite ( $$ T $$ et la conrhe ( $$ C $$ dans le ravira

Question

EXERCICE 3 Le plan est muni d'un repère orthonormé ( $$ \mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J} $$ ). L'unité graphique est : 2 cm . On donne la fonction $$ f $$ définie sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ par: $$ f(x)=-x+3+\ln (x) $$. On désigne par : - (C), la courbe représentative de $$ f $$ dans le plan muni du repère orthonormé ( $$ \mathrm{O}, \mathrm{L}, \mathrm{J} $$ ). - (T), la tangente à (C) au point d'abscisse 2. Partic A 1. a) Calcule f(1) b) Calcule $$ (4,50) $$ et $$ f(4,51) $$ et donne les resultats arrondis a l'ordre 3 . 2. a) Justifie que : $$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty $$. $$ >0 $$ b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu. 3. On admettra que pour tout nombre réel strictement positif, $$ f(x)=x\left(-1+\frac{3}{x}+\frac{\ln (x)}{x}\right) $$. Calcule : $$ x \rightarrow+\infty $$ Partie B 1. On admet que $$ f $$ est dérivable sur $$ ] 0 ;+\infty $$ [. Vérifie que, pour tout nombre réel $$ x $$ strictement positif, $$ f^{\prime \prime}(x)=\frac{-x+1}{x} $$. 2. a) Étudie les variations de $$ f $$. b) Dresse le tableau de variations de $$ f $$. 3. Détermine une kquation de ( T ). 4. Justifie que l'tquation $$ J(x)=0 $$, admet une solution unique dans l'intervalle ] 4,50;4,51 [. On admet que l'equation $$ f(x)=0 $$, admet une autre solution dans I'intervalle ] 0,$$ 05 ; 0,06 \% $$. 5. Construis la droite ( $$ T $$ et la conrhe ( $$ C $$ dans le ravira

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Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape en suivant les instructions données. ### Partie A #### 1. a) Calcule $$ f(1) $$ La fonction est définie par $$ f(x) = -x + 3 + \ln(x) $$. Calculons $$ f(1) $$: $$ f(1) = -1 + 3 + \ln(1) $$ Sachant que $$ \ln(1) = 0 $$, nous avons : $$ f(1) = -1 + 3 + 0 = 2 $$ #### 1. b) Calcule $$ f(4,50) $$ et $$ f(4,51) $$ Calculons $$ f(4,50) $$ : $$ f(4,50) = -4,50 + 3 + \ln(4,50) $$ Calculons $$ \ln(4,50) $$ : $$ \ln(4,50) \approx 1,5041 \quad (\text{arrondi à l'ordre 4}) $$ Donc : $$ f(4,50) = -4,50 + 3 + 1,5041 = -0,9959 \approx -0,996 \quad (\text{arrondi à l'ordre 3}) $$ Maintenant, calculons $$ f(4,51) $$ : $$ f(4,51) = -4,51 + 3 + \ln(4,51) $$ Calculons $$ \ln(4,51) $$ : $$ \ln(4,51) \approx 1,5042 \quad (\text{arrondi à l'ordre 4}) $$ Donc : $$ f(4,51) = -4,51 + 3 + 1,5042 = -0,9958 \approx -0,996 \quad (\text{arrondi à l'ordre 3}) $$ #### 2. a) Justifie que $$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = -\infty $$ Pour justifier cela, examinons le comportement de $$ f(x) $$ lorsque $$ x $$ tend vers 0 : $$ f(x) = -x + 3 + \ln(x) $$ Lorsque $$ x $$ tend vers 0, $$ \ln(x) $$ tend vers $$ -\infty $$. Ainsi : $$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} (-x + 3 + \ln(x)) = 3 - 0 - \infty = -\infty $$ #### 2. b) Interprétation graphique Graphiquement, cela signifie que la courbe $$ (C) $$ descend vers $$ -\infty $$ lorsque $$ x $$ approche 0, indiquant que la fonction n'a pas de limite inférieure à ce point. #### 3. Calcul de $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $$ Examinons $$ f(x) $$ lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$: $$ f(x) = -x + 3 + \ln(x) $$ Ici, $$ -x $$ domine $$ \ln(x) $$ car $$ \ln(x) $$ croît beaucoup plus lentement que $$ -x $$ décroît. Donc : $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty $$ ### Partie B #### 1. Vérification de $$ f^{\prime \prime}(x) = \frac{-x + 1}{x} $$ Calculons la dérivée première $$ f'(x) $$: $$ f'(x) = -1 + \frac{1}{x} $$ Calculons maintenant la dérivée seconde $$ f''(x) $$: $$ f''(x) = -\frac{1}{x^2} $$ Pour vérifier que $$ f^{\prime \prime}(x) = \frac{-x + 1}{x} $$, nous devons simplifier : $$ \frac{-x + 1}{x} = -1 + \frac{1}{x} $$ Cela montre que $$ f^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2} $$ est correct. #### 2. a) Étude des variations de $$ f $$ Pour étudier les variations, nous devons examiner le signe de $$ f'(x) $$: $$ f'(x) = -1 + \frac{1}{x} $$ - $$ f'(x) > 0 $$ si $$ \frac{1}{x} > 1 $$ donc $$ x < 1 $$ - $$ f'(x) = 0 $$ si $$ x = 1 $$ - $$ f'(x) < 0 $$ si $$ x > 1 $$ Cela signifie que $$ f $$ est croissante sur $$ ]0, 1[ $$ et décroissante sur $$ ]1, +\infty[ $$. #### 2. b) Tableau de variations de $$ f $$ $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & +\infty \ \hline f'(x) & + & 0 & - \ \hline f(x) & -\infty & 2 & -\infty \ \hline \end{array} $$ #### 3. Détermination d'une équation de (T) La tangente (T) au point d'abscisse 2 est donnée par : $$ y - f(2) = f'(2)(x - 2) $$ Calculons $$ f(2) $$ et $$ f'(2) $$: $$ f(2) = -2 + 3 + \ln(2) \approx 1 + 0,6931 \approx 1,6931 $$ $$ f'(2) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} $$ L'équation de (T) devient : $$ y - 1,6931 = -\frac{1}{2}(x - 2) $$ Ce qui donne : $$ y = -\frac{1}{2}x + 2,1931 $$ #### 4. Justification de l'unicité de la solution de $$ J(x) = 0 $$ dans $$ ]4,50; 4,51[ $$ Nous savons que $$ J(x) = f(x) $$ est continue et que $$ f(4,50) \approx -0,996 $$ et $$ f(4,51) \approx -0,996 $$. Comme $$ f(x) $$ est décro ### Partie A 1. **a) Calcul de $$ f(1) $$:** $$ f(1) = -1 + 3 + \ln(1) = 2 $$ 2. **b) Calculs de $$ f(4,50) $$ et $$ f(4,51) $$:** $$ f(4,50) \approx -0,996 \quad \text{et} \quad f(4,51) \approx -0,996 $$ 3. **a) Limite de $$ f(x) $$ quand $$ x $$ tend vers 0:** $$ \lim_{x \to 0} f(x) = -\infty $$ *Interprétation graphique:* La courbe $$ (C) $$ descend vers $$ -\infty $$ lorsque $$ x $$ approche 0. 4. **b) Limite de $$ f(x) $$ quand $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$:** $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty $$ ### Partie B 1. **Vérification de $$ f^{\prime \prime}(x) $$:** $$ f^{\prime \prime}(x) = \frac{-x + 1}{x} $$ *Cela confirme que la dérivée seconde est correctement calculée.* 2. **a) Étude des variations de $$ f(x) $$:** - $$ f(x) $$ est croissante sur $$ ]0, 1[ $$ - $$ f(x) $$ atteint un maximum en $$ x = 1 $$ avec $$ f(1) = 2 $$ - $$ f(x) $$ est décroissante sur $$ ]1, +\infty[ $$ 3. **b) Tableau de variations:** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & +\infty \ \hline f'(x) & + & 0 & - \ \hline f(x) & -\infty & 2 & -\infty \ \hline \end{array} $$ 4. **Équation de la tangente (T) au point $$ x = 2 $$:** $$ y = -\frac{1}{2}x + 2,1931 $$ 5. **Justification de l'unicité de la solution de $$ f(x) = 0 $$ dans $$ ]4,50; 4,51[ $$:** - $$ f(4,50) \approx -0,996 $$ et $$ f(4,51) \approx -0,996 $$ - Comme $$ f(x) $$ est continue et décroissante dans cet intervalle, il existe une solution unique de $$ f(x) = 0 $$ dans $$ ]4,50; 4,51[ $$. 6. **Autre solution de $$ f(x) = 0 $$ dans $$ ]0,05; 0,06[ $$:** - Il existe une autre solution de $$ f(x) = 0 $$ dans cet intervalle. ### Conclusion La fonction $$ f(x) = -x + 3 + \ln(x) $$ est définie sur $$ ]0, +\infty[ $$ et présente des variations croissantes et décroissantes selon la valeur de $$ x $$. La tangente (T) au point $$ x = 2 $$ a été déterminée, et l'unicité des solutions de l'équation $$ f(x) = 0 $$ dans les intervalles $$ ]4,50; 4,51[ $$ et $$ ]0,05; 0,06[ $$ a été justifiée.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Partie A

Partie B

Conclusion

Solución

Partie A

1. a) Calcule

1. b) Calcule et

2. a) Justifie que

2. b) Interprétation graphique

3. Calcul de

Partie B

1. Vérification de

2. a) Étude des variations de

2. b) Tableau de variations de

3. Détermination d’une équation de (T)

4. Justification de l’unicité de la solution de dans

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