PL1-EGBW Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben ist die Ebene \( \mathrm{E}:-2 x_{1}+4 x_{2}-4 x_{3}=4 \). Bestimme die Gleichung einer Ebene F , die parallel zu E ist und den Abstand \( \mathrm{d}=18 \mathrm{zu} \mathrm{E} \) hat. \[ \mathrm{F}:+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{1}+\hat{v} \square \mathrm{x}_{2}+\hat{\imath} \square \mathrm{x}_{3}=+\hat{\imath} \square \] Bitte nur ganzzahlige Koordinaten für die Vektoren eingeben. .25 Iösen Ich möchte nur die Losung sehen (ohne Wertung)

Um die Gleichung der Ebene \( F \) zu bestimmen, die parallel zur gegebenen Ebene \( E: -2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} = 4 \) ist, benötigen wir den Normalenvektor von \( E \), der \(\vec{n} = (-2, 4, -4)\) ist. Da die Ebene \( F \) parallel zu \( E \) ist, hat sie denselben Normalenvektor. Der Abstand \( d \) zwischen zwei parallelen Ebenen kann durch die Formel \[ d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] bestimmt werden, wobei \( D_1 \) und \( D_2 \) die konstanten Werte der Ebenen sind. Für die Ebene \( E \) ist \( D_1 = 4 \) und der Abstand \( d = 18 \). Die neue Ebene \( F \) hat die Form \[ -2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} = D_2. \] Um den Abstand von 18 zu gewährleisten, setzen wir: \[ \frac{|4 - D_2|}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-4)^2}} = 18. \] Das ergibt den Nenner: \[ \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6. \] Daher gilt: \[ |4 - D_2| = 18 \cdot 6 = 108. \] Das führt zu zwei möglichen Fällen: 1. \( 4 - D_2 = 108 \) → \( D_2 = -104 \) 2. \( 4 - D_2 = -108 \) → \( D_2 = 112 \) Somit sind die beiden parallelen Ebenen: 1. \( F_1: -2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} = -104 \) 2. \( F_2: -2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} = 112 \) Eine mögliche Lösung für die Gleichung der Ebene \( F \) ist: \[ \mathrm{F}: -2 x_{1} + 4 x_{2} - 4 x_{3} = 112. \]