Qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva suave dada pela função $$ y=f(x) $$ em um intervalo $$ [a,b] $$?

Question

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A fórmula para calcular o comprimento de arco $$ L $$ de uma curva suave definida pela função $$ y = f(x) $$ no intervalo $$ [a, b] $$ é dada por:

$$
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx
$$

**Onde:**
- $$ \frac{dy}{dx} $$ é a derivada de $$ f(x) $$ em relação a $$ x $$, representando a inclinação da curva em cada ponto.
- A expressão $$ \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } $$ calcula a "distância infinitesimal" ao longo da curva.
- A integral definida soma todas essas distâncias infinitesimais no intervalo de $$ a $$ a $$ b $$, resultando no comprimento total do arco.

**Passos para o cálculo:**
1. **Derivar a Função:** Calcule a derivada $$ \frac{dy}{dx} $$ da função $$ f(x) $$.
2. **Construir a Integral:** Substitua $$ \frac{dy}{dx} $$ na fórmula acima.
3. **Avaliar a Integral:** Integre a expressão resultante no intervalo $$ [a, b] $$ para encontrar o comprimento do arco.

**Exemplo:**
Se $$ f(x) = x^2 $$, então:
1. $$ \frac{dy}{dx} = 2x $$
2. $$ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + 4x^2} \, dx $$
3. Avalie a integral para obter o comprimento do arco entre $$ a $$ e $$ b $$.

Essa fórmula é fundamental em cálculo diferencial e é amplamente utilizada para determinar comprimentos de curvas em diversas aplicações matemáticas e físicas.
A fórmula para calcular o comprimento de arco $$ L $$ de uma curva suave $$ y = f(x) $$ no intervalo $$ [a, b] $$ é: $$ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx $$ **Passos:** 1. **Derive** $$ f(x) $$ para obter $$ \frac{dy}{dx} $$. 2. **Substitua** $$ \frac{dy}{dx} $$ na fórmula. 3. **Integre** a expressão no intervalo $$ [a, b] $$ para encontrar $$ L $$. **Exemplo:** Se $$ f(x) = x^2 $$, então: $$ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + 4x^2} \, dx $$ Avalie a integral para obter o comprimento do arco. Esta fórmula é útil para medir o comprimento de curvas em problemas matemáticos e físicos.

Qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva suave dada pela função em um intervalo ?

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