1) \( \frac{3 x+1}{x+2}-1=\frac{x-1}{x-2} \)

Решим уравнение: \[ \frac{3x + 1}{x + 2} - 1 = \frac{x - 1}{x - 2} \] **Шаг 1: Приведём левую часть к общему знаменателю.** \[ \frac{3x + 1}{x + 2} - 1 = \frac{3x + 1}{x + 2} - \frac{x + 2}{x + 2} = \frac{3x + 1 - (x + 2)}{x + 2} = \frac{2x - 1}{x + 2} \] **Шаг 2: Запишем полученное равенство.** \[ \frac{2x - 1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2} \] **Шаг 3: Перемножим крест-накрест.** \[ (2x - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 2) \] **Шаг 4: Раскроем скобки.** \[ 2x \cdot x - 2x \cdot 2 - 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 \] \[ 2x^2 - 4x - x + 2 = x^2 + 2x - x - 2 \] \[ 2x^2 - 5x + 2 = x^2 + x - 2 \] **Шаг 5: Перенесём все члены в левую часть уравнения.** \[ 2x^2 - 5x + 2 - x^2 - x + 2 = 0 \] \[ x^2 - 6x + 4 = 0 \] **Шаг 6: Решим квадратное уравнение.** Используем формулу дискриминанта: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \] **Шаг 7: Проверим допустимые значения.** Изначальные ограничения: \( x \neq -2 \) и \( x \neq 2 \). Полученные решения \( x = 3 + \sqrt{5} \) и \( x = 3 - \sqrt{5} \) не нарушают этих ограничений. **Ответ:** \[ x = 3 + \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x = 3 - \sqrt{5} \]