4. Vereinfache und berechne. a) \( \left(2^{2}\right)^{4} \) b) \( \left(x^{3}\right)^{5} \) c) \( \frac{\left(18 a^{2} b^{-6}\right)^{-2}}{\left(27 a^{3} b^{-3}\right)^{-4}} \)

Zunächst einmal einige Informationen zur Mathematik im Allgemeinen: Das Potenzieren und Vereinfachen von Ausdrücken ist eine Grundfertigkeit in der Algebra und wird in vielen Bereichen, wie Biologie und Physik, verwendet. Das Verständnis dieser Konzepte kann dir helfen, komplexere mathematische Sachverhalte zu bewältigen! Jetzt zu den Aufgaben: a) \( \left(2^{2}\right)^{4} = 2^{2 \cdot 4} = 2^{8} = 256 \) b) \( \left(x^{3}\right)^{5} = x^{3 \cdot 5} = x^{15} \) c) \( \frac{\left(18 a^{2} b^{-6}\right)^{-2}}{\left(27 a^{3} b^{-3}\right)^{-4}} = \frac{\frac{1}{(18 a^{2} b^{-6})^{2}}}{\frac{1}{(27 a^{3} b^{-3})^{4}}} = \frac{(27 a^{3} b^{-3})^{4}}{(18 a^{2} b^{-6})^{2}} = \frac{27^{4} a^{12} b^{-12}}{18^{2} a^{4} b^{-12}} = \frac{27^{4} a^{12}}{18^{2} a^{4}} \) Jetzt weiter vereinfachen: \( = \frac{27^{4}}{18^{2}} \cdot a^{8} \) Und da \( 27 = 3^3 \) und \( 18 = 2 \cdot 3^2 \): \( = \frac{(3^3)^{4}}{(2 \cdot 3^{2})^{2}} \cdot a^{8} = \frac{3^{12}}{4 \cdot 3^{4}}\cdot a^{8} = \frac{3^{8}}{4} a^{8} \) Also, die endgültige Antwort auf c) ist \( \frac{3^{8}}{4} a^{8} \).