2 Limite en I'infini d'un polynōme ou d'une fraction rationnelle Calculer les limites des fonctions suivantes, et préciser lorsque la courbe représentative de $$ f $$ (botée $$ \left(\mathcal{C}_{f}\right) $$ ) wimet une asymptote horizontale. 1. $$ f(x)=x^{3}-2 x+3 $$, en $$ +\infty $$. 2. $$ f(x)=\frac{x+3}{2 x-1} $$ en $$ -\infty $$. 3. $$ f(x)=x^{4}+x $$ en $$ -\infty $$. 4. $$ f(x)=\frac{x^{2}-2}{2 x+3} $$ en $$ -\infty $$. 5. $$ f(x)=\frac{2 x-5}{x+x^{3}} e x+\infty $$. 6. $$ f(x)=\frac{4-2 x^{4}}{x^{2}(x+1)^{2}} $$ en $$ -x $$. Aide 7. $$ f(x)=\frac{(3 x+1)^{2}}{(2 x-3)^{3}} \mathrm{en}+\infty $$. Réponses

Question

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Voici les réponses aux problèmes de calcul des limites et l'identification des éventuelles asymptotes horizontales pour les fonctions données.

### 1. $$ f(x) = x^{3} - 2x + 3 $$ en $$ +\infty $$

- **Calcul de la limite :**
  $$
  \lim_{x \to +\infty} (x^{3} - 2x + 3) = +\infty
  $$
  
- **Asymptote horizontale :**
  - **Aucune asymptote horizontale** n'existe pour cette fonction, car le degré du polynôme est supérieur à 0.

---

### 2. $$ f(x) = \frac{x + 3}{2x - 1} $$ en $$ -\infty $$

- **Calcul de la limite :**
  $$
  \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 3}{2x - 1} = \frac{1}{2}
  $$
  
- **Asymptote horizontale :**
  - **Y = ½** est une asymptote horizontale de la courbe représentative de $$ f $$.

---

### 3. $$ f(x) = x^{4} + x $$ en $$ -\infty $$

- **Calcul de la limite :**
  $$
  \lim_{x \to -\infty} (x^{4} + x) = +\infty
  $$
  
- **Asymptote horizontale :**
  - **Aucune asymptote horizontale** n'existe pour cette fonction, car le degré du polynôme est supérieur à 0.

---

### 4. $$ f(x) = \frac{x^{2} - 2}{2x + 3} $$ en $$ -\infty $$

- **Calcul de la limite :**
  $$
  \lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2} - 2}{2x + 3} = -\infty
  $$
  
- **Asymptote horizontale :**
  - **Aucune asymptote horizontale** n'existe pour cette fonction, car le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur.

---

### 5. $$ f(x) = \frac{2x - 5}{x + x^{3}} $$ en $$ +\infty $$

- **Calcul de la limite :**
  $$
  \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 5}{x + x^{3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x - 5}{x^{3} + x} = 0
  $$
  
- **Asymptote horizontale :**
  - **Y = 0** est une asymptote horizontale de la courbe représentative de $$ f $$.

---

### 6. $$ f(x) = \frac{4 - 2x^{4}}{x^{2}(x + 1)^{2}} $$ en $$ -\infty $$

- **Calcul de la limite :**
  $$
  \lim_{x \to -\infty} \frac{4 - 2x^{4}}{x^{2}(x + 1)^{2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2x^{4} + 4}{x^{4} + 2x^{3} + x^{2}} = -2
  $$
  
- **Asymptote horizontale :**
  - **Y = -2** est une asymptote horizontale de la courbe représentative de $$ f $$.

---

### 7. $$ f(x) = \frac{(3x + 1)^{2}}{(2x - 3)^{3}} $$ en $$ +\infty $$

- **Calcul de la limite :**
  $$
  \lim_{x \to +\infty} \frac{(3x + 1)^{2}}{(2x - 3)^{3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{9x^{2} + 6x + 1}{8x^{3} - 36x^{2} + 54x - 27} = 0
  $$
  
- **Asymptote horizontale :**
  - **Y = 0** est une asymptote horizontale de la courbe représentative de $$ f $$.

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### Récapitulatif des Asymptotes Horizontales

- **Fonctions ayant une asymptote horizontale :**
  - **Problème 2 :** $$ y = \frac{1}{2} $$
  - **Problème 5 :** $$ y = 0 $$
  - **Problème 6 :** $$ y = -2 $$
  - **Problème 7 :** $$ y = 0 $$

- **Fonctions n'ayant pas d'asymptote horizontale :**
  - **Problème 1, 3, 4**

N'hésitez pas à poser d'autres questions si vous avez besoin de clarifications supplémentaires !
Voici les limites des fonctions et l'identification des asymptotes horizontales : 1. $$ f(x) = x^{3} - 2x + 3 $$ en $$ +\infty $$: - Limite : $$ +\infty $$ - Asymptote horizontale : Aucune 2. $$ f(x) = \frac{x + 3}{2x - 1} $$ en $$ -\infty $$: - Limite : $$ \frac{1}{2} $$ - Asymptote horizontale : $$ y = \frac{1}{2} $$ 3. $$ f(x) = x^{4} + x $$ en $$ -\infty $$: - Limite : $$ +\infty $$ - Asymptote horizontale : Aucune 4. $$ f(x) = \frac{x^{2} - 2}{2x + 3} $$ en $$ -\infty $$: - Limite : $$ -\infty $$ - Asymptote horizontale : Aucune 5. $$ f(x) = \frac{2x - 5}{x + x^{3}} $$ en $$ +\infty $$: - Limite : $$ 0 $$ - Asymptote horizontale : $$ y = 0 $$ 6. $$ f(x) = \frac{4 - 2x^{4}}{x^{2}(x + 1)^{2}} $$ en $$ -\infty $$: - Limite : $$ -2 $$ - Asymptote horizontale : $$ y = -2 $$ 7. $$ f(x) = \frac{(3x + 1)^{2}}{(2x - 3)^{3}} $$ en $$ +\infty $$: - Limite : $$ 0 $$ - Asymptote horizontale : $$ y = 0 $$ **Asymptotes Horizontales Existantes :** - Problème 2 : $$ y = \frac{1}{2} $$ - Problème 5 : $$ y = 0 $$ - Problème 6 : $$ y = -2 $$ - Problème 7 : $$ y = 0 $$ **Asymptotes Horizontales Absentes :** - Problème 1, 3, 4

2 Limite en I’infini d’un polynōme ou d’une fraction rationnelle
Calculer les limites des fonctions suivantes, et préciser lorsque la courbe représentative de (botée ) wimet une asymptote horizontale.

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Aide
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