Tarea: $$ \int e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2 x) d x= $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la integral $$ \int e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) \, dx $$, podemos utilizar el método de integración por partes o la técnica de integración por partes repetida. Sin embargo, en este caso, es más conveniente usar la fórmula de integración por partes en combinación con la fórmula de Euler.

La fórmula de integración por partes es:

$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

Vamos a elegir:

- $$ u = \operatorname{sen}(2x) $$  $$\Rightarrow du = 2 \cos(2x) \, dx$$
- $$ dv = e^{x} \, dx $$  $$\Rightarrow v = e^{x}$$

Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes:

$$
\int e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) \, dx = e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - \int e^{x} \cdot 2 \cos(2x) \, dx
$$

Esto se convierte en:

$$
\int e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) \, dx = e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - 2 \int e^{x} \cdot \cos(2x) \, dx
$$

Ahora necesitamos resolver la integral $$ \int e^{x} \cdot \cos(2x) \, dx $$. Usamos nuevamente integración por partes, eligiendo:

- $$ u = \cos(2x) $$  $$\Rightarrow du = -2 \sin(2x) \, dx$$
- $$ dv = e^{x} \, dx $$  $$\Rightarrow v = e^{x}$$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$$
\int e^{x} \cdot \cos(2x) \, dx = e^{x} \cdot \cos(2x) - \int e^{x} \cdot (-2 \sin(2x)) \, dx
$$

Esto se convierte en:

$$
\int e^{x} \cdot \cos(2x) \, dx = e^{x} \cdot \cos(2x) + 2 \int e^{x} \cdot \sin(2x) \, dx
$$

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones:

1. $$ I = \int e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) \, dx = e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - 2J $$
2. $$ J = \int e^{x} \cdot \cos(2x) \, dx = e^{x} \cdot \cos(2x) + 2I $$

Donde $$ I $$ es la integral original y $$ J $$ es la integral de $$ e^{x} \cdot \cos(2x) $$.

Sustituyendo $$ J $$ en la primera ecuación:

$$
I = e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - 2(e^{x} \cdot \cos(2x) + 2I)
$$

Simplificando:

$$
I = e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - 2e^{x} \cdot \cos(2x) - 4I
$$

Sumando $$ 4I $$ a ambos lados:

$$
5I = e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - 2e^{x} \cdot \cos(2x)
$$

Finalmente, despejamos $$ I $$:

$$
I = \frac{1}{5} \left( e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - 2e^{x} \cdot \cos(2x) \right) + C
$$

Donde $$ C $$ es la constante de integración.

Por lo tanto, la solución de la integral es:

$$
\int e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) \, dx = \frac{1}{5} \left( e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - 2e^{x} \cdot \cos(2x) \right) + C
$$
La solución de la integral es: $$ \int e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) \, dx = \frac{1}{5} \left( e^{x} \cdot \operatorname{sen}(2x) - 2e^{x} \cdot \cos(2x) \right) + C $$

Tarea:

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