Hallar la recta tangente $$ y=\operatorname{sen}(x) \ln (x) $$ $$ x=\frac{\pi}{2}=\frac{3,1416}{2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar la recta tangente a la función $$ y = \sen(x) \ln(x) $$ en el punto donde $$ x = \frac{\pi}{2} $$, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Evaluar la función en $$ x = \frac{\pi}{2} $$:

$$
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sen\left(\frac{\pi}{2}\right) \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \cdot \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) = \ln\left(\frac{\pi}{2}\right)
$$

### 2. Calcular la derivada de la función $$ y = \sen(x) \ln(x) $$:

Aplicamos la regla del producto para derivar:

$$
f'(x) = \cos(x) \ln(x) + \sen(x) \cdot \frac{1}{x}
$$

Evaluamos la derivada en $$ x = \frac{\pi}{2} $$:

$$
f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sen\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = 0 \cdot \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}
$$

### 3. Formular la ecuación de la recta tangente:

La ecuación de la recta tangente en el punto $$ x = \frac{\pi}{2} $$ es:

$$
y = f\left(\frac{\pi}{2}\right) + f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \left(x - \frac{\pi}{2}\right)
$$

Sustituyendo los valores obtenidos:

$$
y = \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{2}{\pi}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)
$$

Simplificando un poco más, podemos distribuir el término $$ \frac{2}{\pi} $$:

$$
y = \frac{2}{\pi}x + \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) - 1
$$

### **Resultado Final:**

La ecuación de la recta tangente a la curva $$ y = \sen(x) \ln(x) $$ en $$ x = \frac{\pi}{2} $$ es:

$$
y = \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{2}{\pi}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)
$$
La recta tangente a la función $$ y = \sen(x) \ln(x) $$ en $$ x = \frac{\pi}{2} $$ es: $$ y = \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{2}{\pi}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) $$

Hallar la recta tangente

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