Hallar la recta tangente \( y=\operatorname{sen}(x) \ln (x) \) \( x=\frac{\pi}{2}=\frac{3,1416}{2} \)

Para hallar la recta tangente a la función \( y = \sin(x) \ln(x) \) en el punto \( x = \frac{\pi}{2} \), primero necesitamos encontrar la derivada de la función. La regla del producto nos ayuda aquí: \[ y' = \cos(x) \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x} \] Evaluamos la derivada en \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = 0 + \frac{2}{\pi} \] Así, la pendiente de la tangente es \( \frac{2}{\pi} \). Luego, evaluamos \( y \) en \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) = \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) \] Con la pendiente \( m = \frac{2}{\pi} \) y el punto \( \left(\frac{\pi}{2}, \ln\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) \), la ecuación de la recta tangente es: \[ y - \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2}{\pi} \left(x - \frac{\pi}{2}\right) \] Finalmente, la ecuación de la recta tangente es: \[ y = \frac{2}{\pi} x - \frac{2}{2} + \ln\left(\frac{\pi}{2}\right) \] ¡Y voilà! Has encontrado la recta tangente.