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El conjunto de funciones acotadas en un intervalo \( [a, b] \) forma un espacio vectorial porque cumple con todas las propiedades necesarias, como la adición y la multiplicación por escalares, y tiene un elemento neutro y inversos aditivos.
Solución
Para demostrar que el espacio de funciones acotadas en los números reales sobre un intervalo cerrado \( [a, b] \) forma un espacio vectorial, debemos verificar que cumple con los axiomas de un espacio vectorial.
**Definición del Espacio de Funciones Acotadas:**
Sea \( \mathcal{B} \) el conjunto de todas las funciones \( f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) tales que existen constantes \( M \in \mathbb{R} \) que satisfacen \( |f(x)| \leq M \) para todo \( x \in [a, b] \). Estas funciones se denominan **funciones acotadas** en \( [a, b] \).
**Operaciones Vectoriales:**
1. **Suma de Funciones:** Dada dos funciones \( f, g \in \mathcal{B} \), la suma \( f + g \) se define punto a punto como:
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x), \quad \forall x \in [a, b]
\]
2. **Multiplicación Escalar:** Dado un escalar \( \alpha \in \mathbb{R} \) y una función \( f \in \mathcal{B} \), la multiplicación \( \alpha f \) se define como:
\[
(\alpha f)(x) = \alpha \cdot f(x), \quad \forall x \in [a, b]
\]
**Verificación de los Axiomas del Espacio Vectorial:**
1. **Clausura bajo la Suma:**
- Sea \( f, g \in \mathcal{B} \). Existen \( M_f, M_g \) tales que \( |f(x)| \leq M_f \) y \( |g(x)| \leq M_g \) para todo \( x \in [a, b] \).
- Entonces, para todo \( x \in [a, b] \):
\[
|(f + g)(x)| = |f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq M_f + M_g = M
\]
Donde \( M = M_f + M_g \). Por lo tanto, \( f + g \) también está acotada y \( f + g \in \mathcal{B} \).
2. **Clausura bajo la Multiplicación Escalar:**
- Sea \( f \in \mathcal{B} \) y \( \alpha \in \mathbb{R} \).
- Existe \( M_f \) tal que \( |f(x)| \leq M_f \) para todo \( x \in [a, b] \).
- Entonces, para todo \( x \in [a, b] \):
\[
|(\alpha f)(x)| = |\alpha| \cdot |f(x)| \leq |\alpha| \cdot M_f = M'
\]
Donde \( M' = |\alpha| \cdot M_f \). Por lo tanto, \( \alpha f \) también está acotada y \( \alpha f \in \mathcal{B} \).
3. **Axioma de Asociatividad de la Suma:**
- Para \( f, g, h \in \mathcal{B} \):
\[
(f + (g + h))(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x) = ((f + g) + h)(x)
\]
Por lo tanto, \( f + (g + h) = (f + g) + h \).
4. **Axioma conmutativo de la Suma:**
- Para \( f, g \in \mathcal{B} \):
\[
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
\]
Por lo tanto, \( f + g = g + f \).
5. **Existencia del Elemento Neutro (Cero):**
- Consideremos la función cero \( 0 \) definida por \( 0(x) = 0 \) para todo \( x \in [a, b] \).
- Para cualquier \( f \in \mathcal{B} \):
\[
(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)
\]
Por lo tanto, \( 0 \) es el elemento neutro de \( \mathcal{B} \).
6. **Existencia de Inversos Aditivos:**
- Para cada \( f \in \mathcal{B} \), definimos \( -f \) por \( (-f)(x) = -f(x) \).
- Luego:
\[
(f + (-f))(x) = f(x) + (-f(x)) = 0 = 0(x)
\]
Por lo tanto, \( -f \) es el inverso aditivo de \( f \) en \( \mathcal{B} \).
7. **Compatibilidad de la Multiplicación Escalar con la Multiplicación de Escalares:**
- Para \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) y \( f \in \mathcal{B} \):
\[
(\alpha \beta f)(x) = \alpha \beta f(x) = \alpha (\beta f(x)) = (\alpha (\beta f))(x)
\]
Por lo tanto, \( \alpha (\beta f) = (\alpha \beta) f \).
8. **Identidad de la Multiplicación Escalar:**
- Para \( f \in \mathcal{B} \):
\[
(1 \cdot f)(x) = 1 \cdot f(x) = f(x)
\]
Por lo tanto, \( 1 \cdot f = f \).
9. **Distributividad de la Multiplicación Escalar respecto a la Suma de Funciones:**
- Para \( \alpha \in \mathbb{R} \) y \( f, g \in \mathcal{B} \):
\[
\alpha (f + g)(x) = \alpha (f(x) + g(x)) = \alpha f(x) + \alpha g(x) = (\alpha f + \alpha g)(x)
\]
Por lo tanto, \( \alpha (f + g) = \alpha f + \alpha g \).
10. **Distributividad de la Multiplicación Escalar respecto a la Suma de Escalares:**
- Para \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) y \( f \in \mathcal{B} \):
\[
(\alpha + \beta) f(x) = (\alpha + \beta) f(x) = \alpha f(x) + \beta f(x) = (\alpha f + \beta f)(x)
\]
Por lo tanto, \( (\alpha + \beta) f = \alpha f + \beta f \).
**Conclusión:**
Dado que todas las operaciones y propiedades necesarias para un espacio vectorial se cumplen en \( \mathcal{B} \), concluimos que el conjunto de funciones acotadas sobre el intervalo \( [a, b] \) forma efectivamente un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales \( \mathbb{R} \).
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