6. Demuestre que el espacio de funciones acotadas en los números reales forma un espacio vectorial. Recuerde que una función acotada en un in- tervalo $$ [a, b] $$ es una función $$ f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} $$ que cumple que $$ f(x) \leq M $$ para algún valor arbitrario $$ M \in \mathbb{R} $$ y $$ \forall x \in[a, b] $$.

Question

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Para demostrar que el espacio de funciones acotadas en los números reales sobre un intervalo cerrado $$ [a, b] $$ forma un espacio vectorial, debemos verificar que cumple con los axiomas de un espacio vectorial.

**Definición del Espacio de Funciones Acotadas:**

Sea $$ \mathcal{B} $$ el conjunto de todas las funciones $$ f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R} $$ tales que existen constantes $$ M \in \mathbb{R} $$ que satisfacen $$ |f(x)| \leq M $$ para todo $$ x \in [a, b] $$. Estas funciones se denominan **funciones acotadas** en $$ [a, b] $$.

**Operaciones Vectoriales:**

1. **Suma de Funciones:** Dada dos funciones $$ f, g \in \mathcal{B} $$, la suma $$ f + g $$ se define punto a punto como:
   $$
   (f + g)(x) = f(x) + g(x), \quad \forall x \in [a, b]
   $$
   
2. **Multiplicación Escalar:** Dado un escalar $$ \alpha \in \mathbb{R} $$ y una función $$ f \in \mathcal{B} $$, la multiplicación $$ \alpha f $$ se define como:
   $$
   (\alpha f)(x) = \alpha \cdot f(x), \quad \forall x \in [a, b]
   $$

**Verificación de los Axiomas del Espacio Vectorial:**

1. **Clausura bajo la Suma:**
   - Sea $$ f, g \in \mathcal{B} $$. Existen $$ M_f, M_g $$ tales que $$ |f(x)| \leq M_f $$ y $$ |g(x)| \leq M_g $$ para todo $$ x \in [a, b] $$.
   - Entonces, para todo $$ x \in [a, b] $$:
     $$
     |(f + g)(x)| = |f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \leq M_f + M_g = M
     $$
     Donde $$ M = M_f + M_g $$. Por lo tanto, $$ f + g $$ también está acotada y $$ f + g \in \mathcal{B} $$.

2. **Clausura bajo la Multiplicación Escalar:**
   - Sea $$ f \in \mathcal{B} $$ y $$ \alpha \in \mathbb{R} $$.
   - Existe $$ M_f $$ tal que $$ |f(x)| \leq M_f $$ para todo $$ x \in [a, b] $$.
   - Entonces, para todo $$ x \in [a, b] $$:
     $$
     |(\alpha f)(x)| = |\alpha| \cdot |f(x)| \leq |\alpha| \cdot M_f = M'
     $$
     Donde $$ M' = |\alpha| \cdot M_f $$. Por lo tanto, $$ \alpha f $$ también está acotada y $$ \alpha f \in \mathcal{B} $$.

3. **Axioma de Asociatividad de la Suma:**
   - Para $$ f, g, h \in \mathcal{B} $$:
     $$
     (f + (g + h))(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x) = ((f + g) + h)(x)
     $$
     Por lo tanto, $$ f + (g + h) = (f + g) + h $$.

4. **Axioma conmutativo de la Suma:**
   - Para $$ f, g \in \mathcal{B} $$:
     $$
     (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
     $$
     Por lo tanto, $$ f + g = g + f $$.

5. **Existencia del Elemento Neutro (Cero):**
   - Consideremos la función cero $$ 0 $$ definida por $$ 0(x) = 0 $$ para todo $$ x \in [a, b] $$.
   - Para cualquier $$ f \in \mathcal{B} $$:
     $$
     (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)
     $$
     Por lo tanto, $$ 0 $$ es el elemento neutro de $$ \mathcal{B} $$.

6. **Existencia de Inversos Aditivos:**
   - Para cada $$ f \in \mathcal{B} $$, definimos $$ -f $$ por $$ (-f)(x) = -f(x) $$.
   - Luego:
     $$
     (f + (-f))(x) = f(x) + (-f(x)) = 0 = 0(x)
     $$
     Por lo tanto, $$ -f $$ es el inverso aditivo de $$ f $$ en $$ \mathcal{B} $$.

7. **Compatibilidad de la Multiplicación Escalar con la Multiplicación de Escalares:**
   - Para $$ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $$ y $$ f \in \mathcal{B} $$:
     $$
     (\alpha \beta f)(x) = \alpha \beta f(x) = \alpha (\beta f(x)) = (\alpha (\beta f))(x)
     $$
     Por lo tanto, $$ \alpha (\beta f) = (\alpha \beta) f $$.

8. **Identidad de la Multiplicación Escalar:**
   - Para $$ f \in \mathcal{B} $$:
     $$
     (1 \cdot f)(x) = 1 \cdot f(x) = f(x)
     $$
     Por lo tanto, $$ 1 \cdot f = f $$.

9. **Distributividad de la Multiplicación Escalar respecto a la Suma de Funciones:**
   - Para $$ \alpha \in \mathbb{R} $$ y $$ f, g \in \mathcal{B} $$:
     $$
     \alpha (f + g)(x) = \alpha (f(x) + g(x)) = \alpha f(x) + \alpha g(x) = (\alpha f + \alpha g)(x)
     $$
     Por lo tanto, $$ \alpha (f + g) = \alpha f + \alpha g $$.

10. **Distributividad de la Multiplicación Escalar respecto a la Suma de Escalares:**
    - Para $$ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $$ y $$ f \in \mathcal{B} $$:
      $$
      (\alpha + \beta) f(x) = (\alpha + \beta) f(x) = \alpha f(x) + \beta f(x) = (\alpha f + \beta f)(x)
      $$
      Por lo tanto, $$ (\alpha + \beta) f = \alpha f + \beta f $$.

**Conclusión:**

Dado que todas las operaciones y propiedades necesarias para un espacio vectorial se cumplen en $$ \mathcal{B} $$, concluimos que el conjunto de funciones acotadas sobre el intervalo $$ [a, b] $$ forma efectivamente un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales $$ \mathbb{R} $$.
El conjunto de funciones acotadas en un intervalo $$ [a, b] $$ forma un espacio vectorial porque cumple con todas las propiedades necesarias, como la adición y la multiplicación por escalares, y tiene un elemento neutro y inversos aditivos.

Demuestre que el espacio de funciones acotadas en los números reales
forma un espacio vectorial. Recuerde que una función acotada en un in-
tervalo es una función que cumple que
para algún valor arbitrario y .

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