Compruebe que las circunferencias con ecuación: $$ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0 \quad x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-11=0 $$ son concéntricas.

Question

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Para comprobar que las circunferencias dadas son concéntricas, debemos analizar sus ecuaciones. Las circunferencias son concéntricas si tienen el mismo centro.

Las ecuaciones de las circunferencias son:

1. $$ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0 $$
2. $$ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-11=0 $$

Primero, reescribamos cada ecuación en la forma estándar de la circunferencia, que es $$ (x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} $$, donde $$(h, k)$$ es el centro y $$r$$ es el radio.

### Para la primera circunferencia:

1. $$ x^{2} - 2x + y^{2} - 4y + 1 = 0 $$

Agrupamos los términos:

$$
(x^{2} - 2x) + (y^{2} - 4y) + 1 = 0
$$

Completamos el cuadrado para $$x$$ y $$y$$:

- Para $$x^{2} - 2x$$:
  $$
  x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1
  $$

- Para $$y^{2} - 4y$$:
  $$
  y^{2} - 4y = (y - 2)^{2} - 4
  $$

Sustituyendo en la ecuación:

$$
((x - 1)^{2} - 1) + ((y - 2)^{2} - 4) + 1 = 0
$$

Simplificamos:

$$
(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} - 4 = 0
$$

$$
(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4
$$

Esto nos da el centro $$(1, 2)$$ y el radio $$r = 2$$.

### Para la segunda circunferencia:

2. $$ x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-11=0 $$

Agrupamos los términos:

$$
(x^{2} - 2x) + (y^{2} - 4y) - 11 = 0
$$

Completamos el cuadrado de la misma manera:

$$
((x - 1)^{2} - 1) + ((y - 2)^{2} - 4) - 11 = 0
$$

Simplificamos:

$$
(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} - 16 = 0
$$

$$
(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 16
$$

Esto nos da el mismo centro $$(1, 2)$$ y un radio $$r = 4$$.

### Conclusión

Ambas circunferencias tienen el mismo centro $$(1, 2)$$, por lo que son concéntricas.
Las dos circunferencias tienen el mismo centro en el punto (1, 2), por lo que son concéntricas.

Compruebe que las circunferencias con ecuación:

son concéntricas.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Para la primera circunferencia:

Para la segunda circunferencia:

Conclusión

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