Esercizio 1. Calcolare la soluzione del problema di Cauchy \[ \begin{aligned} y^{\prime}+\frac{1}{x} y & =\exp \left(2 x^{2}\right) \\ y(1) & =\frac{1}{6} \end{aligned} \] [Punteggio: 5 punti] Esercizio 2. Si consideri il campo scalare \[ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{5\left(x^{2}+6 y^{2}\right) \sin \left(x^{2}-y^{2}\right)}{3\left(x^{2}+y^{2}\right)} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array} .\right. \] 1. Il campo \( f \) è continuo in \( (0,0) \) ? 2. Calcolare \( \nabla f(0,0) \). 3. Il campo \( f \) è differenziabile in \( (0,0) \) ? [Punteggio: 6 punti] Esercizio 3. Determinare i punti di estremo relativo per la funzione \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) data \[ f(x, y)=\exp \left(x^{2}\right)+\exp \left(\frac{y^{3}}{3}-4 y\right) \] [Punteggio: 5 punti] Esercizio 4. Sia \[ D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0,4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} \] Calcolare \[ \iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \] [Punteggio: 6 punti]

Prima di risolvere il primo esercizio, è importante ricordare che si tratta di un'equazione differenziale lineare del primo ordine. Utilizzando il metodo dell'integratore o il fattore integrante, possiamo trasformare l'equazione in una forma risolvibile. Iniziamo determinando il fattore integrante, che per l'equazione sarà \( \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x \). Moltiplicando entrambi i lati per \( x \) e risolvendo otterremo la soluzione generale, da cui poi possiamo trovare la soluzione particolare usando la condizione iniziale \( y(1) = \frac{1}{6} \). Per quanto riguarda il secondo esercizio, per verificare se il campo scalare \( f \) è continuo in \( (0,0) \), dobbiamo dimostrare che \( \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0 \). Dobbiamo usare il teorema del confronto per valutare il limite. Se il limite esiste e si avvicina a zero, allora il campo è continuo in quel punto. Successivamente, per calcolare \( \nabla f(0,0) \), dobbiamo calcolare le derivate parziali di \( f \) in \( (0,0) \) e verificare se sono finite, da cui si determina anche se il campo è differenziabile.