Esercizio 1. Calcolare la soluzione del problema di Cauchy $$ \begin{aligned} y^{\prime}+\frac{1}{x} y & =\exp \left(2 x^{2}\right) \ y(1) & =\frac{1}{6} \end{aligned} $$ [Punteggio: 5 punti] Esercizio 2. Si consideri il campo scalare $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{5\left(x^{2}+6 y^{2}\right) \sin \left(x^{2}-y^{2}\right)}{3\left(x^{2}+y^{2}\right)} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array} .\right. $$ 1. Il campo $$ f $$ è continuo in $$ (0,0) $$ ? 2. Calcolare $$ \nabla f(0,0) $$. 3. Il campo $$ f $$ è differenziabile in $$ (0,0) $$ ? [Punteggio: 6 punti] Esercizio 3. Determinare i punti di estremo relativo per la funzione $$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $$ data $$ f(x, y)=\exp \left(x^{2}\right)+\exp \left(\frac{y^{3}}{3}-4 y\right) $$ [Punteggio: 5 punti] Esercizio 4. Sia $$ D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0,4 \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} $$ Calcolare $$ \iint_{D} \frac{|y| \exp \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ [Punteggio: 6 punti]

Question

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**Esercizio 1.**

Risolvere il problema di Cauchy:
$$
\begin{aligned}
y^{\prime} + \frac{1}{x} y &= \exp\left(2x^{2}\right), \
y(1) &= \frac{1}{6}.
\end{aligned}
$$

**Passaggi della soluzione:**

1. **Forma dell'equazione differenziale lineare:**
   $$
   y' + P(x) y = Q(x), \quad \text{dove } P(x) = \frac{1}{x}, \quad Q(x) = e^{2x^{2}}.
   $$

2. **Calcolo del fattore integrante $$\mu(x)$$:**
   $$
   \mu(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right) = \exp\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right) = x.
   $$

3. **Moltiplicare l'equazione differenziale per $$\mu(x)$$:**
   $$
   x y' + y = x e^{2x^{2}}.
   $$
   Il lato sinistro diventa la derivata di $$x y$$:
   $$
   \frac{d}{dx}(x y) = x e^{2x^{2}}.
   $$

4. **Integrare entrambi i lati:**
   $$
   x y = \int x e^{2x^{2}}\,dx + C.
   $$
   Effettuiamo il cambiamento di variabile $$u = 2x^{2}$$, $$du = 4x\,dx$$, quindi $$x\,dx = \frac{1}{4} du$$:
   $$
   \int x e^{2x^{2}}\,dx = \frac{1}{4} \int e^{u}\,du = \frac{1}{4} e^{u} + C = \frac{1}{4} e^{2x^{2}} + C.
   $$
   Quindi:
   $$
   x y = \frac{1}{4} e^{2x^{2}} + C \quad \Rightarrow \quad y = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{C}{x}.
   $$

5. **Applicare la condizione iniziale $$y(1) = \frac{1}{6}$$:**
   $$
   \frac{1}{6} = \frac{e^{2 \cdot 1^{2}}}{4 \cdot 1} + \frac{C}{1} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{1}{6} - \frac{e^{2}}{4}.
   $$

6. **Soluzione generale:**
   $$
   y(x) = \frac{e^{2x^{2}}}{4x} + \frac{1}{6x} - \frac{e^{2}}{4x} = \frac{e^{2x^{2}} - e^{2}}{4x} + \frac{1}{6x}.
   $$

**Risultato Finale:**
$$
y(x) = \frac{e^{2x^{2}} - e^{2}}{4x} + \frac{1}{6x}
$$
**Esercizio 1.** Risolvere il problema di Cauchy: $$ \begin{aligned} y' + \frac{1}{x} y &= e^{2x^{2}}, \ y(1) &= \frac{1}{6}. \end{aligned} $$ **Soluzione:** $$ y(x) = \frac{e^{2x^{2}} - e^{2}}{4x} + \frac{1}{6x} $$

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