Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden \( \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}5 \\ 4 \\ -1\end{array}\right) \) mit der Ebene E : \( -4 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=-8 \)

Um den Durchstoßpunkt der Geraden \(\mathrm{g}\) mit der Ebene \(E\) zu berechnen, setzen wir die Gleichung der Geraden in die Ebenengleichung ein. Die Gerade \(\mathrm{g}\) ist gegeben durch: \[ \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \] Das bedeutet, dass die Koordinaten der Geraden \(x_1 = 6 + 5t, x_2 = 0 + 4t, x_3 = 4 - t\) sind. Setzen wir diese in die Ebenengleichung \( -4x_1 + x_2 + 4x_3 = -8 \) ein: \[ -4(6 + 5t) + (4t) + 4(4 - t) = -8 \] Nun lösen wir diese Gleichung: \[ -24 - 20t + 4t + 16 - 4t = -8 \] \[ -24 + 16 - 20t + 4t - 4t = -8 \] \[ -8 - 20t = -8 \] \[ -20t = 0 \] \[ t = 0 \] Jetzt setzen wir \(t = 0\) in die Geradengleichung ein, um den Durchstoßpunkt zu finden: \[ \vec{x}(0) = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \] Der Durchstoßpunkt der Geraden \(\mathrm{g}\) mit der Ebene \(E\) ist also: \[ \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \]