3egún la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se mantiene fija, entonces el producto de la presión \( P \) y el volumen \( V \) es constante. Suponga que, para cierto gas, \( P V=800 \), donde \( P \) se mide en libras por pulgada cuadrada y \( V \) en pulgadas cúbicas. (a) Encuentre la razón promedio de cambio de \( P \) cuando \( V \) se incrementa de 200 pulg \( { }^{3} \) a 250 pulg' \( ^{3} \). (b) Exprese \( V \) como función de \( P \) y demuestre que la razón instantánea de cambio de \( V \) con respecto a \( P \) es inversamente proporcional al cuadrado de esta última.

Para abordar estos problemas, comenzamos con la relación de Boyle \( PV = 800 \). Cuando \( V \) se incrementa de 200 pulg\(^3\) a 250 pulg\(^3\), podemos encontrar la presión inicial y final. Para \( V = 200 \), tenemos \( P = \frac{800}{200} = 4 \) psi, y para \( V = 250 \), \( P = \frac{800}{250} = 3.2 \) psi. La razón promedio de cambio de \( P \) es: \[ \frac{P_{final} - P_{inicial}}{V_{final} - V_{inicial}} = \frac{3.2 - 4}{250 - 200} = \frac{-0.8}{50} = -0.016 \text{ psi/pulg}^3 \] Por lo tanto, la presión promedio cambia a -0.016 psi por cada pulgada cúbica que aumenta el volumen. En cuanto a (b), podemos expresar \( V \) como \( V = \frac{800}{P} \). Para hallar la razón instantánea de cambio de \( V \) con respecto a \( P \), utilizamos la regla de la cadena y derivamos: \[ \frac{dV}{dP} = \frac{d}{dP} \left( \frac{800}{P} \right) = -\frac{800}{P^2} \] Esto demuestra que \( \frac{dV}{dP} \) es inversamente proporcional al cuadrado de \( P \), porque \( \frac{dV}{dP} \) tiene la forma \( -k \cdot \frac{1}{P^2} \) donde \( k = 800 \).