EsEncizio 20-6 Si considerino isistemí linearí \( S:\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+k x_{4}=1 \\ x_{3}-x_{4}=-1 \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+(k-2) x_{4}=k\end{array}\right. \) \[ \varepsilon S O:\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+k x_{1}=0 \\ x_{3}-x_{1}=0 \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+(h-2) x_{1}=0 \end{array}\right. \] 6 Discutere e rimolvere al variare di \( k \in \mathbb{R} \) il sistema \( S \). (24) Spiegare perche l'insieme \( U_{k} \) delle moluzioni del sistema \( S O \) non e vucto ed en ty sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^{4} \). Al variare di \( k \in \mathbb{R} \), determinare un supplemento di \( U_{k} \) in \( \mathbb{R}^{4} \), Al variare di \( k \in \mathbb{R} \), stabilire se esiste un isomorfismo \( F: U_{k} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \),

Per risolvere il problema, analizziamo i sistemi lineari \( S \) e \( S O \) e discutiamo le loro soluzioni al variare di \( k \). ### Sistema \( S \) Il sistema \( S \) è dato da: \[ \begin{cases} x_{1} - x_{2} + k x_{4} = 1 \quad (1) \\ x_{3} - x_{4} = -1 \quad (2) \\ x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + (k-2) x_{4} = k \quad (3) \end{cases} \] #### Passo 1: Risolvere il sistema \( S \) Iniziamo a risolvere il sistema \( S \) utilizzando le equazioni. Dalla seconda equazione (2), possiamo esprimere \( x_{3} \) in funzione di \( x_{4} \): \[ x_{3} = x_{4} - 1 \] Sostituiamo \( x_{3} \) nella prima e nella terza equazione. Sostituendo in (1): \[ x_{1} - x_{2} + k x_{4} = 1 \quad (1) \] Sostituendo in (3): \[ x_{1} - x_{2} + 2(x_{4} - 1) + (k-2)x_{4} = k \] Semplificando l'equazione (3): \[ x_{1} - x_{2} + 2x_{4} - 2 + (k-2)x_{4} = k \] \[ x_{1} - x_{2} + (k + 2 - 2)x_{4} = k + 2 \] \[ x_{1} - x_{2} + k x_{4} = k + 2 \quad (4) \] Ora abbiamo due equazioni: 1. \( x_{1} - x_{2} + k x_{4} = 1 \) (1) 2. \( x_{1} - x_{2} + k x_{4} = k + 2 \) (4) #### Passo 2: Analizzare le equazioni Le equazioni (1) e (4) devono essere uguali: \[ 1 = k + 2 \] Da cui otteniamo: \[ k = -1 \] ### Caso \( k = -1 \) Se \( k = -1 \), le equazioni diventano: 1. \( x_{1} - x_{2} - x_{4} = 1 \) 2. \( x_{3} - x_{4} = -1 \) 3. \( x_{1} - x_{2} - x_{4} = -1 \) Le prime e le terze equazioni sono in contraddizione, quindi non ci sono soluzioni per \( k = -1 \). ### Caso \( k \neq -1 \) Se \( k \neq -1 \), possiamo risolvere il sistema. Da (1) e (4) otteniamo: \[ x_{1} - x_{2} = 1 - k x_{4} \] Sostituendo \( x_{1} - x_{2} \) in (2): \[ x_{3} = x_{4} - 1 \] ### Soluzioni generali Le soluzioni generali del sistema \( S \) possono essere espresse in termini di \( x_{4} \): \[ x_{1} = x_{2} + 1 - k x_{4} \] \[ x_{3} = x_{4} - 1 \] ### Sistema \( S O \) Il sistema \( S O \) è dato da: \[ \begin{cases} x_{1} - x_{2} + k x_{1} = 0 \quad (5) \\ x_{3} - x_{1} = 0 \quad (6) \\ x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + (h-2) x_{1} = 0 \quad (7) \end{cases} \] #### Passo 3: Risolvere il sistema \( S O \) Dalla seconda equazione (6), abbiamo: \[ x_{3} = x_{1} \] Sostituendo in (5) e (7): 1. \( x_{1} - x_{2} + k x_{1} = 0 \) 2. \( x_{1} - x_{2} + 2 x_{1} + (h-2)x_{1} = 0 \) Semplificando: 1. \( (1 + k)x_{1} - x_{2} = 0 \) 2. \( (3 + h - 2)x_{1} - x_{2} = 0 \) ### Passo 4: Discussione delle soluzioni Le soluzioni del sistema \( S O \) formano un sottospazio vettoriale \( U_{k} \) di \( \mathbb{R}^{4} \) perché sono definite da equazioni lineari omogenee. ### Supplemento di \( U_{k} \) Il supplemento di \( U_{k} \) in \( \mathbb{R}^{4} \) può essere determinato considerando la dimensione di \( U_{k} \) e la dimensione di \( \mathbb{R}^{4} \). ### Isomorfismo \( F: U_{k} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) Se \( U_{k} \) ha dimensione 3, allora esiste un isomorfismo \( F \) che mappa \( U_{k} \) in \( \mathbb{R}^{3} \). ### Conclusione Abbiamo discusso e risolto il sistema \( S \) e \( S O \) al variare di \( k \). Le soluzioni del sistema \( S O \) formano un sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^{4} \) e abbiamo stabilito le condizioni per l'esistenza di un isomorfismo.