Una compañía invierte un total de \( \$ 50,000 \) de su superávit a dos tasas de interés anual: \( 5 \% \) y \( 6 \frac{3}{4} \% \). Desea obtener un rendimiento no menor a \( 6 \frac{1}{4} \% \). ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que la compañía debe invertir a la tasa de \( 6 \frac{3}{4} \% \) ? La compañía debe invertir al menos \( \$ \square \) al \( 6 \frac{3}{4} \% \). (Redondee al centavo más cercano).

Para resolver el problema, usaremos variables para representar las distintas inversiones. Supongamos que la cantidad invertida al \( 6 \frac{3}{4} \% \) sea \( x \) y la cantidad invertida al \( 5 \% \) sea \( 50000 - x \). El rendimiento de la inversión al \( 5 \% \) es \( 0.05(50000 - x) \) y al \( 6 \frac{3}{4} \% \) es \( 0.0675x \). La compañía quiere que el rendimiento total sea al menos \( 6 \frac{1}{4} \% \) de \( 50000 \). Entonces, el rendimiento total debe ser: \[ 0.05(50000 - x) + 0.0675x \geq 0.0625 \times 50000 \] Calculamos el rendimiento deseado: \[ 0.0625 \times 50000 = 3125 \] Ahora, sustituimos en la inequación: \[ 0.05(50000 - x) + 0.0675x \geq 3125 \] Desarrollamos: \[ 2500 - 0.05x + 0.0675x \geq 3125 \] Simplificamos: \[ 2500 + 0.0175x \geq 3125 \] Restamos \( 2500 \) de ambos lados: \[ 0.0175x \geq 625 \] Dividimos por \( 0.0175 \): \[ x \geq \frac{625}{0.0175} \approx 35714.29 \] Por lo tanto, la compañía debe invertir al menos \( \$ 35,714.29 \) al \( 6 \frac{3}{4} \% \).