20. Encontrar el exponente de $$ x $$ al simplificar: $$ E=\sqrt{X \div \sqrt{X \div \cdots n ext { radicales }}} $$ si $$ n $$ es impar. $$ \begin{array}{ll} ext { A) } \frac{1}{3}\left[1+\left(\frac{1}{2} ight)^{n} ight] & ext { B) } \frac{1}{3}\left[1-\left(\frac{1}{2} ight)^{n} ight] \ ext { C) } \frac{1}{3}\left[2^{n}-1 ight] & ext { D) } \frac{1}{3}\left[1-2^{n} ight] \ ext { E) } \frac{2^{n}}{3} & \end{array} $$

Question

20. Encontrar el exponente de $$ x $$ al simplificar: $$ E=\sqrt{X \div \sqrt{X \div \cdots n 	ext { radicales }}} $$ si $$ n $$ es impar. $$ \begin{array}{ll}	ext { A) } \frac{1}{3}\left[1+\left(\frac{1}{2}ight)^{n}ight] & 	ext { B) } \frac{1}{3}\left[1-\left(\frac{1}{2}ight)^{n}ight] \ 	ext { C) } \frac{1}{3}\left[2^{n}-1ight] & 	ext { D) } \frac{1}{3}\left[1-2^{n}ight] \ 	ext { E) } \frac{2^{n}}{3} & \end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea $$ E_n $$ el valor de la expresión con $$ n $$ radicales:
$$
E_n=\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\cdots}}}}}
$$
con $$ n $$ radicales y $$ n $$ impar. Se observa que la estructura es recursiva; de hecho, para $$ n\ge1 $$ se tiene
$$
E_n=\sqrt{\frac{x}{E_{n-1}}}.
$$
Supondremos que se puede escribir
$$
E_n=x^{a_n},
$$
donde $$ a_n $$ es el exponente que se busca. Entonces, sustituyendo en la relación recursiva,
$$
x^{a_n}=\sqrt{\frac{x}{x^{a_{n-1}}}}.
$$
Notar que
$$
\sqrt{\frac{x}{x^{a_{n-1}}}}=\sqrt{x^{1-a_{n-1}}}=x^{\frac{1-a_{n-1}}{2}}.
$$
Comparando exponentes se deduce la recurrencia:
$$
a_n=\frac{1-a_{n-1}}{2}.
$$

Comenzamos con el caso base:
$$
E_1=\sqrt{x}\quad\Longrightarrow\quad a_1=\frac{1}{2}.
$$

Para encontrar una forma cerrada resolveremos la recurrencia lineal:
$$
a_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}a_{n-1}.
$$
Primero, hallamos el estado estable $$ a $$ que satisface:
$$
a=\frac{1-a}{2}\quad\Longrightarrow\quad 2a=1-a\quad\Longrightarrow\quad 3a=1,\quad a=\frac{1}{3}.
$$
Definamos $$ b_n=a_n-\frac{1}{3} $$; sustituyendo en la recurrencia obtenemos:
$$
b_n = a_n-\frac{1}{3} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}a_{n-1}-\frac{1}{3}.
$$
Pero $$ a_{n-1}=\frac{1}{3}+b_{n-1} $$ y por lo tanto:
$$
b_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+b_{n-1}\right)-\frac{1}{3} = \frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}b_{n-1}-\frac{1}{3}.
$$
Observando que
$$
\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{3} = \frac{3}{6}-\frac{1}{6}-\frac{2}{6}=0,
$$
se obtiene la relación homogénea:
$$
b_n=-\frac{1}{2}b_{n-1}.
$$
Con el dato inicial:
$$
b_1=a_1-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6},
$$
la solución es:
$$
b_n=\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
$$
Por lo tanto,
$$
a_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
$$

Dado que $$ n $$ es impar, $$ n-1 $$ es par y así
$$
\left(-\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
$$
Entonces,
$$
a_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}=\frac{1}{3}\left[ 1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}\right].
$$
Pero
$$
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^n.
$$
Finalmente,
$$
a_n=\frac{1}{3}\left[ 1+\left(\frac{1}{2}\right)^n\right].
$$

La respuesta correcta es la opción A.
The exponent of $$ x $$ is $$ \frac{1}{3}\left[1+\left(\frac{1}{2}\right)^n\right] $$, so the correct answer is option A.

Encontrar el exponente de al simplificar:

si es impar.

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