4. \( f(x)=\int \sqrt{\left(6 x^{2}+10 x-2\right)}(12 x+10) d x \)

Para resolver la integral \[ f(x) = \int \sqrt{6x^{2} + 10x - 2} \cdot (12x + 10) \, dx, \] seguimos los siguientes pasos: 1. **Sustitución:** Definimos una nueva variable \( u \) tal que: \[ u = 6x^{2} + 10x - 2. \] 2. **Cálculo de la derivada de \( u \):** \[ \frac{du}{dx} = 12x + 10 \quad \Rightarrow \quad du = (12x + 10) \, dx. \] Observamos que \( (12x + 10) \, dx \) es exactamente el factor que multiplica al radical en la integral original, lo que simplifica la integral considerablemente. 3. **Reescritura de la integral en términos de \( u \):** \[ f(x) = \int \sqrt{u} \, du. \] 4. **Integración:** Sabemos que: \[ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C, \] donde \( C \) es la constante de integración. 5. **Sustitución inversa:** Reemplazamos \( u \) por su expresión original en términos de \( x \): \[ f(x) = \frac{2}{3} (6x^{2} + 10x - 2)^{3/2} + C. \] **Respuesta Final:** \[ f(x) = \frac{2}{3} \left(6x^{2} + 10x - 2\right)^{\frac{3}{2}} + C, \] donde \( C \) es la constante de integración.