Найти значение матричного многочлена \( f(\mathrm{~A}) \), если. \( f(x)=-2 x^{3}-3 x^{2}+x-3, A=\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\ 4 & 2\end{array}\right) \)

Чтобы найти значение матричного многочлена \( f(\mathrm{A}) \), нужно сначала подставить матрицу \( A \) в многочлен \( f(x) \). Для этого вычислим последовательно \( A^2 \) и \( A^3 \). 1. Вычислим \( A^2 \): \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 4 & 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 2 \\ 4 \cdot 3 + 2 \cdot 4 & 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 8 & -6 - 4 \\ 12 + 8 & -8 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 20 & -4 \end{pmatrix} \] 2. Теперь вычислим \( A^3 \): \[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 20 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + (-10) \cdot 4 & 1 \cdot (-2) + (-10) \cdot 2 \\ 20 \cdot 3 + (-4) \cdot 4 & 20 \cdot (-2) + (-4) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 40 & -2 - 20 \\ 60 - 16 & -40 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -37 & -22 \\ 44 & -48 \end{pmatrix} \] Теперь подставим \( A \), \( A^2 \) и \( A^3 \) в многочлен \( f(A) = -2A^3 - 3A^2 + A - 3I \), где \( I \) – единичная матрица размерности 2. 3. Вычислим \( -2A^3 \): \[ -2A^3 = -2 \begin{pmatrix} -37 & -22 \\ 44 & -48 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 74 & 44 \\ -88 & 96 \end{pmatrix} \] 4. Вычислим \( -3A^2 \): \[ -3A^2 = -3 \begin{pmatrix} 1 & -10 \\ 20 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 30 \\ -60 & 12 \end{pmatrix} \] 5. Вычислим \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \] 6. Вычислим \( -3I \), где \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \): \[ -3I = -3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \] Теперь складываем все матрицы, чтобы найти \( f(A) \): \[ f(A) = -2A^3 - 3A^2 + A - 3I = \begin{pmatrix} 74 & 44 \\ -88 & 96 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 30 \\ -60 & 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \] Теперь вычислим сумму: \[ = \begin{pmatrix} 74 - 3 + 3 - 3 &