Найти значение матричного многочлена $$ f(\mathrm{~A}) $$, если. $$ f(x)=-2 x^{3}-3 x^{2}+x-3, A=\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \ 4 & 2\end{array} ight) $$

Question

Найти значение матричного многочлена $$ f(\mathrm{~A}) $$, если. $$ f(x)=-2 x^{3}-3 x^{2}+x-3, A=\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \ 4 & 2\end{array}ight) $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Для нахождения значения матричного многочлена $$ f(\mathrm{A}) = -2\mathrm{A}^3 - 3\mathrm{A}^2 + \mathrm{A} - 3\mathrm{I} $$, где
$$
\mathrm{A} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \ 4 & 2 \end{pmatrix},
$$
используем теорему Кэли-Гамильтона.

1. **Найдем характеристический многочлен матрицы A:**
$$
\det(\mathrm{A} - \lambda \mathrm{I}) = (3 - \lambda)(2 - \lambda) - (-2)(4) = \lambda^2 - 5\lambda + 14.
$$
Таким образом, по теореме Кэли-Гамильтона имеем:
$$
\mathrm{A}^2 = 5\mathrm{A} - 14\mathrm{I}.
$$

2. **Вычислим $$\mathrm{A}^3$$:**
$$
\mathrm{A}^3 = \mathrm{A} \cdot \mathrm{A}^2 = \mathrm{A}(5\mathrm{A} - 14\mathrm{I}) = 11\mathrm{A} - 70\mathrm{I}.
$$

3. **Подставим найденные выражения в многочлен $$f(\mathrm{A})$$:**
$$
f(\mathrm{A}) = -2(11\mathrm{A} - 70\mathrm{I}) - 3(5\mathrm{A} - 14\mathrm{I}) + \mathrm{A} - 3\mathrm{I} = -36\mathrm{A} + 179\mathrm{I}.
$$

4. **Вычислим итоговую матрицу:**
$$
-36\mathrm{A} + 179\mathrm{I} = -36 \begin{pmatrix} 3 & -2 \ 4 & 2 \end{pmatrix} + 179 \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 71 & 72 \ -144 & 107 \end{pmatrix}.
$$

**Ответ:**
$$
f(\mathrm{A}) = \begin{pmatrix} 71 & 72 \ -144 & 107 \end{pmatrix}
$$
$$ f(\mathrm{A}) = \begin{pmatrix} 71 & 72 \ -144 & 107 \end{pmatrix} $$

Найти значение матричного многочлена , если.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Algebra Questions