2. Dato il sistema di 2 equazioni in 2 incognite \[ \left\{\begin{array}{l}x-(a-1) y=a \\ -2 x+2(a-1) y=-2 a\end{array}\right. \] determinare il numero di soluzioni al variare del parametro reale \( a \). A \( = \) non ha soluzione \( \mathrm{B}=1 \) soluzione C \( = \) infinite soluzioni D \( = \) non e determinato

Consideriamo il sistema di equazioni lineari in due incognite: \[ \begin{cases} x - (a-1)y = a \\ -2x + 2(a-1)y = -2a \end{cases} \] **Passo 1: Determinare il determinante del sistema** Il sistema può essere rappresentato nella forma matriciale \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \), dove: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -(a-1) \\ -2 & 2(a-1) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a \\ -2a \end{pmatrix} \] Calcoliamo il determinante della matrice \( A \): \[ \text{det}(A) = 1 \cdot 2(a-1) - (-2) \cdot [-(a-1)] = 2(a-1) - 2(a-1) = 0 \] Dato che il determinante è zero, il sistema può avere: 1. **Nessuna soluzione** (sistemi incompatibili). 2. **Infinite soluzioni** (sistemi dipendenti). **Passo 2: Verificare la dipendenza delle equazioni** Esaminiamo se le due equazioni sono proporzionali: Moltiplichiamo la prima equazione per \(-2\): \[ -2(x - (a-1)y) = -2a \quad \Rightarrow \quad -2x + 2(a-1)y = -2a \] Osserviamo che questa è esattamente la seconda equazione del sistema. Questo significa che le due equazioni sono **dipendenti**, ovvero rappresentano la stessa retta nel piano. **Conclusione:** Il sistema ha **infinite soluzioni** per ogni valore reale del parametro \( a \). **Risposta Corretta:** C) Ha infinite soluzioni