2. Dato il sistema di 2 equazioni in 2 incognite $$ \left\{\begin{array}{l}x-(a-1) y=a \ -2 x+2(a-1) y=-2 a\end{array}\right. $$ determinare il numero di soluzioni al variare del parametro reale $$ a $$. A $$ = $$ non ha soluzione $$ \mathrm{B}=1 $$ soluzione C $$ = $$ infinite soluzioni D $$ = $$ non e determinato

Question

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Consideriamo il sistema di equazioni lineari in due incognite:

$$
\begin{cases}
x - (a-1)y = a \
-2x + 2(a-1)y = -2a
\end{cases}
$$

**Passo 1: Determinare il determinante del sistema**

Il sistema può essere rappresentato nella forma matriciale $$ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $$, dove:

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -(a-1) \
-2 & 2(a-1)
\end{pmatrix},
\quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x \
y
\end{pmatrix},
\quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
a \
-2a
\end{pmatrix}
$$

Calcoliamo il determinante della matrice $$ A $$:

$$
\text{det}(A) = 1 \cdot 2(a-1) - (-2) \cdot [-(a-1)] = 2(a-1) - 2(a-1) = 0
$$

Dato che il determinante è zero, il sistema può avere:

1. **Nessuna soluzione** (sistemi incompatibili).
2. **Infinite soluzioni** (sistemi dipendenti).

**Passo 2: Verificare la dipendenza delle equazioni**

Esaminiamo se le due equazioni sono proporzionali:

Moltiplichiamo la prima equazione per $$-2$$:

$$
-2(x - (a-1)y) = -2a \quad \Rightarrow \quad -2x + 2(a-1)y = -2a
$$

Osserviamo che questa è esattamente la seconda equazione del sistema. Questo significa che le due equazioni sono **dipendenti**, ovvero rappresentano la stessa retta nel piano.

**Conclusione:**

Il sistema ha **infinite soluzioni** per ogni valore reale del parametro $$ a $$.

**Risposta Corretta:**

C) Ha infinite soluzioni
Il sistema ha infinite soluzioni per ogni valore reale del parametro $$ a $$.

Dato il sistema di 2 equazioni in 2 incognite

determinare il numero di soluzioni al variare del parametro reale .
A non ha soluzione
soluzione
C infinite soluzioni
D non e determinato

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Dato il sistema di 2 equazioni in 2 incognite determinare il numero di soluzioni al variare del parametro reale . A non ha soluzione soluzione C infinite soluzioni D non e determinato