Questão 5 (1.0) Determine se a função $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{|x|}{x} & \text { se } & x \neq 0 \ 0 & \text { se } & x=0\end{array}\right. $$ $$ \text { é contínua em } x=0 \text {. } $$

Question

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Para determinar se a função $$ f(x) $$ é contínua em $$ x = 0 $$, precisamos verificar três condições:

1. $$ f(0) $$ está definido.
2. O limite de $$ f(x) $$ quando $$ x $$ se aproxima de 0 existe.
3. O limite de $$ f(x) $$ quando $$ x $$ se aproxima de 0 é igual a $$ f(0) $$.

Vamos analisar cada uma dessas condições.

### 1. Verificar se $$ f(0) $$ está definido

De acordo com a definição da função:

$$
f(0) = 0
$$

Portanto, $$ f(0) $$ está definido.

### 2. Calcular o limite de $$ f(x) $$ quando $$ x $$ se aproxima de 0

Para $$ x \neq 0 $$, temos:

$$
f(x) = \frac{|x|}{x}
$$

Agora, vamos calcular o limite quando $$ x $$ se aproxima de 0 pela esquerda ($$ x \to 0^- $$) e pela direita ($$ x \to 0^+ $$).

- **Limite pela esquerda ($$ x \to 0^- $$)**:

Quando $$ x $$ é negativo, $$ |x| = -x $$, então:

$$
f(x) = \frac{-x}{x} = -1
$$

Assim, temos:

$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1
$$

- **Limite pela direita ($$ x \to 0^+ $$)**:

Quando $$ x $$ é positivo, $$ |x| = x $$, então:

$$
f(x) = \frac{x}{x} = 1
$$

Assim, temos:

$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1
$$

### 3. Verificar se o limite existe

Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais:

$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1
$$

Portanto, o limite $$ \lim_{x \to 0} f(x) $$ não existe.

### Conclusão

Como o limite de $$ f(x) $$ quando $$ x $$ se aproxima de 0 não existe, a função $$ f(x) $$ não é contínua em $$ x = 0 $$.
A função $$ f(x) $$ não é contínua em $$ x = 0 $$ porque o limite de $$ f(x) $$ quando $$ x $$ se aproxima de 0 não existe.

Questão 5 (1.0) Determine se a função

$é í$

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