©oo 282 E se? Sia \( A \) l'insieme dei punti appartenenti a una circonferenza e \( B \) l'insieme dei punti di un suo diame- tro; \( f: A \rightarrow B \) associa a ogni punto della circonferenza la sua proiezione sul diametro: è iniettiva? È suriettiva? Cambierebbe la risposta se \( A \) fosse l'insieme dei punti chartenenti a una semicirconferenza?

Consideriamo una circonferenza con diametro \( D \) e centriamo il sistema di coordinate in modo che \( D \) sia l'asse \( x \) compreso tra \(-1\) e \(1\). La funzione \( f: A \rightarrow B \) mappa ogni punto sulla circonferenza alla sua proiezione sul diametro \( D \). In questo contesto, la proiezione di un punto \( (x, y) \) sulla circonferenza è \( (x, 0) \). ### Caso 1: \( A \) è l'intera circonferenza 1. **Iniettività:** - **Non iniettiva.** - Per ogni \( x \) nell'intervallo \( (-1, 1) \), ci sono due punti sulla circonferenza che si proiettano su \( (x, 0) \): \( (x, y) \) e \( (x, -y) \). - Gli unici punti per cui questa proiezione non ha duplicati sono \( (-1, 0) \) e \( (1, 0) \), ma per tutti gli altri \( x \) l'immagine ha due preimmagini distinte. 2. **Suriettività:** - **Suriettiva.** - Ogni punto \( (x, 0) \) sul diametro \( D \) ha almeno una proiezione da un punto della circonferenza. - Per ogni \( x \) nell'intervallo \( [-1, 1] \), esistono punti sulla circonferenza che si proiettano su \( (x, 0) \). ### Caso 2: \( A \) è una semicirconferenza Supponiamo che \( A \) rappresenti la semicirconferenza superiore (cioè, punti con \( y \geq 0 \)). 1. **Iniettività:** - **Iniettiva.** - Per ogni \( x \) nell'intervallo \( [-1, 1] \), esiste **un solo** punto sulla semicirconferenza che si proietta su \( (x, 0) \): \( (x, y) \) con \( y \geq 0 \). 2. **Suriettività:** - **Suriettiva.** - Come nel caso precedente, ogni \( (x, 0) \) ha una preimmagine nella semicirconferenza, garantendo che ogni elemento di \( B \) sia raggiunto da qualche elemento di \( A \). ### Conclusioni - **Con \( A \) come circonferenza completa:** - La funzione \( f \) **non è iniettiva** ma **è suriettiva**. - **Con \( A \) come semicirconferenza:** - La funzione \( f \) **è sia iniettiva che suriettiva** (cioè, è una biezione). **Riassunto:** - **Intera circonferenza \( A \):** \( f \) non iniettiva, ma suriettiva. - **Semicirconferenza \( A \):** \( f \) è iniettiva e suriettiva. **Risposta finale:** Quando A è tutta la circonferenza, la funzione non è iniettiva ma è suriettiva. Se invece A è una semicirconferenza, la funzione diventa sia iniettiva che suriettiva. **Traduzione completa:** Quando A è tutta la circonferenza, la funzione non è iniettiva ma è suriettiva. Se invece A è una semicirconferenza, la funzione diventa sia iniettiva che suriettiva.