©oo 282 E se? Sia $$ A $$ l'insieme dei punti appartenenti a una circonferenza e $$ B $$ l'insieme dei punti di un suo diame- tro; $$ f: A \rightarrow B $$ associa a ogni punto della circonferenza la sua proiezione sul diametro: è iniettiva? È suriettiva? Cambierebbe la risposta se $$ A $$ fosse l'insieme dei punti chartenenti a una semicirconferenza?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Consideriamo una circonferenza con diametro $$ D $$ e centriamo il sistema di coordinate in modo che $$ D $$ sia l'asse $$ x $$ compreso tra $$-1$$ e $$1$$.

La funzione $$ f: A \rightarrow B $$ mappa ogni punto sulla circonferenza alla sua proiezione sul diametro $$ D $$. In questo contesto, la proiezione di un punto $$ (x, y) $$ sulla circonferenza è $$ (x, 0) $$.

### Caso 1: $$ A $$ è l'intera circonferenza

1. **Iniettività:**
   - **Non iniettiva.** 
   - Per ogni $$ x $$ nell'intervallo $$ (-1, 1) $$, ci sono due punti sulla circonferenza che si proiettano su $$ (x, 0) $$: $$ (x, y) $$ e $$ (x, -y) $$.
   - Gli unici punti per cui questa proiezione non ha duplicati sono $$ (-1, 0) $$ e $$ (1, 0) $$, ma per tutti gli altri $$ x $$ l'immagine ha due preimmagini distinte.

2. **Suriettività:**
   - **Suriettiva.**
   - Ogni punto $$ (x, 0) $$ sul diametro $$ D $$ ha almeno una proiezione da un punto della circonferenza.
   - Per ogni $$ x $$ nell'intervallo $$ [-1, 1] $$, esistono punti sulla circonferenza che si proiettano su $$ (x, 0) $$.

### Caso 2: $$ A $$ è una semicirconferenza

Supponiamo che $$ A $$ rappresenti la semicirconferenza superiore (cioè, punti con $$ y \geq 0 $$).

1. **Iniettività:**
   - **Iniettiva.**
   - Per ogni $$ x $$ nell'intervallo $$ [-1, 1] $$, esiste **un solo** punto sulla semicirconferenza che si proietta su $$ (x, 0) $$: $$ (x, y) $$ con $$ y \geq 0 $$.

2. **Suriettività:**
   - **Suriettiva.**
   - Come nel caso precedente, ogni $$ (x, 0) $$ ha una preimmagine nella semicirconferenza, garantendo che ogni elemento di $$ B $$ sia raggiunto da qualche elemento di $$ A $$.

### Conclusioni

- **Con $$ A $$ come circonferenza completa:**
  - La funzione $$ f $$ **non è iniettiva** ma **è suriettiva**.
  
- **Con $$ A $$ come semicirconferenza:**
  - La funzione $$ f $$ **è sia iniettiva che suriettiva** (cioè, è una biezione).

**Riassunto:**
- **Intera circonferenza $$ A $$:** $$ f $$ non iniettiva, ma suriettiva.
- **Semicirconferenza $$ A $$:** $$ f $$ è iniettiva e suriettiva.

**Risposta finale:**

Quando A è tutta la circonferenza, la funzione non è iniettiva ma è suriettiva. Se invece A è una semicirconferenza, la funzione diventa sia iniettiva che suriettiva.

**Traduzione completa:**

Quando A è tutta la circonferenza, la funzione non è iniettiva ma è suriettiva. Se invece A è una semicirconferenza, la funzione diventa sia iniettiva che suriettiva.
When $$ A $$ is the entire circle, the function is not injective but is surjective. If $$ A $$ is a semicircle, the function becomes both injective and surjective.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions