4. Sean $$ f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dos funciones tales que $$ f(x)=10 x-9, $$ $$ g(x)=\left\{\begin{array}{ll}10 x-9, & x \leq 7 \ 16 x-51, & x7 .\end{array}\right. $$ (a) Encuentre el mínimo valor de $$ A $$ tal que garantice la condición $$ \text { Si } 0

Question

4. Sean $$ f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ dos funciones tales que $$ f(x)=10 x-9, $$ $$ g(x)=\left\{\begin{array}{ll}10 x-9, & x \leq 7 \ 16 x-51, & x>7 .\end{array}\right. $$ (a) Encuentre el mínimo valor de $$ A $$ tal que garantice la condición $$ \text { Si } 0<|x-5|<\frac{1}{A}, \text { entonces }|f(x)-41|<\frac{2}{3} . $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el problema, seguimos los siguientes pasos:

Dada la función $$ f(x) = 10x - 9 $$, queremos encontrar el mínimo valor de $$ A $$ que garantice que:

$$
\text{Si } 0 < |x - 5| < \frac{1}{A}, \text{ entonces } |f(x) - 41| < \frac{2}{3}.
$$

1. **Calcular $$ |f(x) - 41| $$:**

$$
f(x) - 41 = 10x - 9 - 41 = 10x - 50 = 10(x - 5)
$$

Por lo tanto,

$$
|f(x) - 41| = |10(x - 5)| = 10|x - 5|
$$

2. **Establecer la desigualdad deseada:**

Queremos que:

$$
10|x - 5| < \frac{2}{3}
$$

Dividiendo ambos lados por 10:

$$
|x - 5| < \frac{2}{30} = \frac{1}{15}
$$

3. **Relacionar con la condición dada:**

La condición dada es $$ 0 < |x - 5| < \frac{1}{A} $$. Para que $$ |x - 5| < \frac{1}{15} $$, debemos tener:

$$
\frac{1}{A} \leq \frac{1}{15} \quad \Rightarrow \quad A \geq 15
$$

4. **Conclusión:**

El valor mínimo de $$ A $$ que satisface la condición es **15**.

**Respuesta Final:** El valor mínimo de $$ A $$ es $$ 15 $$.
El valor mínimo de $$ A $$ es $$ 15 $$.

Sean dos funciones tales que

(a) Encuentre el mínimo valor de tal que garantice la condición

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Sean dos funciones tales que (a) Encuentre el mínimo valor de tal que garantice la condición