1. Dé un ejemplo de una función $$ h(x) $$ que tenga una discontinuidad de tipo salto en $$ x=-1 $$ y una discontinuidad de tipo asintótica en $$ x=2 $$. Justifique su elección. 3. Sea $$ f(x, y)=x^{2}+4 y^{2} $$. Llamemos $$ C $$ a la curva de nivel de $$ f(x, y) $$ que pasa por el punto $$ P(2,1) $$. a) Encuentre una ecuación implícita para $$ C $$, grafique la curva y proponga una parametrización de la misma. b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a $$ C $$ por $$ P $$.

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### 1. Ejemplo de función con discontinuidades Una función que cumple con las condiciones solicitadas es: $$ h(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x < -1 \ 2 & \text{si } x = -1 \ \frac{1}{x-2} & \text{si } x > -1 \text{ y } x \neq 2 \end{cases} $$ **Justificación:** - **Discontinuidad de tipo salto en $$ x = -1 $$**: La función tiene un valor diferente a la izquierda ($$ h(x) = 1 $$ cuando $$ x < -1 $$) y a la derecha ($$ h(x) = \frac{1}{x-2} $$ cuando $$ x > -1 $$). En $$ x = -1 $$, $$ h(-1) = 2 $$, lo que provoca un salto en el valor de la función. - **Discontinuidad de tipo asintótica en $$ x = 2 $$**: La función $$ h(x) = \frac{1}{x-2} $$ tiene una discontinuidad asintótica en $$ x = 2 $$ porque a medida que $$ x $$ se aproxima a 2, $$ h(x) $$ tiende a $$ \infty $$ o $$ -\infty $$, dependiendo de la dirección desde la que se aproxima. ### 3. Curva de nivel de $$ f(x, y) = x^{2} + 4y^{2} $$ #### a) Ecuación implícita para la curva de nivel $$ C $$ Primero, evaluamos $$ f(2, 1) $$: $$ f(2, 1) = 2^{2} + 4(1)^{2} = 4 + 4 = 8 $$ La curva de nivel $$ C $$ que pasa por el punto $$ P(2, 1) $$ se define por la ecuación: $$ x^{2} + 4y^{2} = 8 $$ **Gráfica de la curva:** La ecuación $$ x^{2} + 4y^{2} = 8 $$ representa una elipse. Para graficarla, podemos reescribirla en la forma estándar: $$ \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1 $$ #### Parametrización de la curva Una parametrización de la elipse es: $$ x(t) = 2\sqrt{2} \cos(t), \quad y(t) = \sqrt{2} \sin(t), \quad t \in [0, 2\pi] $$ #### b) Ecuación de la recta tangente a $$ C $$ por $$ P(2, 1) $$ Para encontrar la recta tangente, primero calculamos el gradiente de $$ f(x, y) $$: $$ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x, 8y) $$ Evaluamos el gradiente en el punto $$ P(2, 1) $$: $$ \nabla f(2, 1) = (2 \cdot 2, 8 \cdot 1) = (4, 8) $$ La pendiente de la recta tangente en $$ P $$ es: $$ m = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} $$ Usando la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta: $$ y - y_0 = m(x - x_0) $$ Sustituyendo $$ (x_0, y_0) = (2, 1) $$: $$ y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) $$ Simplificando: $$ y = -\frac{1}{2}x + 2 $$ Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel $$ C $$ en el punto $$ P(2, 1) $$ es: $$ y = -\frac{1}{2}x + 2 $$ ### 1. Ejemplo de función con discontinuidades Una función que cumple con las condiciones es: $$ h(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x < -1 \ 2 & \text{si } x = -1 \ \frac{1}{x-2} & \text{si } x > -1 \text{ y } x \neq 2 \end{cases} $$ **Justificación:** - **Discontinuidad de tipo salto en $$ x = -1 $$:** La función tiene diferentes valores a la izquierda y derecha de $$ x = -1 $$, causando un salto. - **Discontinuidad de tipo asintótica en $$ x = 2 $$:** A medida que $$ x $$ se acerca a 2, $$ h(x) $$ tiende a $$ \infty $$ o $$ -\infty $$. ### 3. Curva de nivel de $$ f(x, y) = x^{2} + 4y^{2} $$ #### a) Ecuación implícita para la curva de nivel $$ C $$ La curva de nivel $$ C $$ que pasa por $$ P(2, 1) $$ se define por: $$ x^{2} + 4y^{2} = 8 $$ **Parametrización de la curva:** $$ x(t) = 2\sqrt{2} \cos(t), \quad y(t) = \sqrt{2} \sin(t), \quad t \in [0, 2\pi] $$ #### b) Ecuación de la recta tangente a $$ C $$ por $$ P(2, 1) $$ La ecuación de la recta tangente es: $$ y = -\frac{1}{2}x + 2 $$

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1. Ejemplo de función con discontinuidades

3. Curva de nivel de

a) Ecuación implícita para la curva de nivel

b) Ecuación de la recta tangente a por

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