$$ \int _ { 1 } ^ { 3 } e ^ { \sqrt { x } } d x \quad n = 5 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para calcular la integral definida

$$
\int_{1}^{3} e^{\sqrt{x}} \, dx
$$

utilizaremos la **Regla del Trapecio** con $$ n = 5 $$ subintervalos. A continuación, se detalla el procedimiento paso a paso:

### 1. Determinar el ancho de cada subintervalo ($$ h $$):

$$
h = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4
$$

### 2. Dividir el intervalo [1, 3] en 5 subintervalos:

Los puntos de división ($$ x_i $$) serán:

$$
x_0 = 1.0 \
x_1 = 1.0 + 0.4 = 1.4 \
x_2 = 1.4 + 0.4 = 1.8 \
x_3 = 1.8 + 0.4 = 2.2 \
x_4 = 2.2 + 0.4 = 2.6 \
x_5 = 2.6 + 0.4 = 3.0 \
$$

### 3. Evaluar la función en cada punto:

$$
f(x) = e^{\sqrt{x}}
$$

Calculamos $$ f(x_i) $$ para cada $$ i $$:

$$
f(x_0) = e^{\sqrt{1.0}} = e^{1} \approx 2.71828 \
f(x_1) = e^{\sqrt{1.4}} \approx e^{1.1832} \approx 3.2679 \
f(x_2) = e^{\sqrt{1.8}} \approx e^{1.3416} \approx 3.8302 \
f(x_3) = e^{\sqrt{2.2}} \approx e^{1.4832} \approx 4.4085 \
f(x_4) = e^{\sqrt{2.6}} \approx e^{1.6124} \approx 5.0001 \
f(x_5) = e^{\sqrt{3.0}} = e^{1.7321} \approx 5.6527 \
$$

### 4. Aplicar la Regla del Trapecio:

La fórmula de la Regla del Trapecio compuesta es:

$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right]
$$

Sustituyendo los valores:

$$
\int_{1}^{3} e^{\sqrt{x}} \, dx \approx \frac{0.4}{2} \left[ f(x_0) + 2(f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4)) + f(x_5) \right]
$$

$$
= 0.2 \left[ 2.71828 + 2(3.2679 + 3.8302 + 4.4085 + 5.0001) + 5.6527 \right]
$$

$$
= 0.2 \left[ 2.71828 + 2(16.5067) + 5.6527 \right]
$$

$$
= 0.2 \left[ 2.71828 + 33.0134 + 5.6527 \right]
$$

$$
= 0.2 \times 41.38438 \approx 8.2769
$$

### 5. Resultado Final:

La aproximación de la integral utilizando la Regla del Trapecio con $$ n = 5 $$ subintervalos es aproximadamente:

$$
\int_{1}^{3} e^{\sqrt{x}} \, dx \approx 8.2769
$$

### Nota:

Para una mayor precisión, se podría aumentar el número de subintervalos $$ n $$ o utilizar métodos de integración más avanzados, como la Regla de Simpson.
La integral $$ \int_{1}^{3} e^{\sqrt{x}} \, dx $$ aproximada con la Regla del Trapecio y $$ n = 5 $$ subintervalos es **8.2769**.

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