\( a, b, c \) birer asal sayıdır. \[ a=(b-c)\left(b^{2}+c^{2}+4\right) \] olduğuna göre, \( a+b-c \) kaçtır?

Verilen eşitliği inceleyelim: \[ a = (b - c)(b^2 + c^2 + 4) \] \( a, b, c \) asal sayılardır. Buradan \( b - c \) ifadesi de asal veya pozitif bir tam sayı olmalıdır. Asal sayılar yalnızca 1 ve kendisi ile tam bölünebildiği için, \( b - c \) negatif olamaz, dolayısıyla \( b \geq c \) olmalıdır. Şimdi, \( b = c \) durumunu kontrol edelim. Eğer \( b = c \) ise, o zaman \( a = (b - b)(b^2 + b^2 + 4) = 0 \) olur ki bu durum a'nın asal sayı olmasına aykırıdır. Yani, \( b \) ve \( c \) farklı asal sayılar olmalıdır. \( b - c = k \) şeklinde bir ifade alalım (burada \( k \) pozitif bir tam sayı). O zaman, \[ a = k(b^2 + c^2 + 4) \] Burada \( b\) ve \(c\) asal sayılardan birinin (örneğin, en küçük asal sayı olan 2 olduğu varsayılsın) 2 olduğunu düşünelim. Eğer \( c = 2 \) ve \( b = 3 \) alırsak, \( b - c = 1 \) olur. Şimdi, \(a\) değerini bulalım: \[ a = (3 - 2)(3^2 + 2^2 + 4) = 1(9 + 4 + 4) = 1 \times 17 = 17 \] Yani, \( a = 17 \), \( b = 3 \), \( c = 2 \) durumda: \[ a + b - c = 17 + 3 - 2 = 18 \] Sonuç olarak, \( a + b - c \) değeri 18’dir. Cevap: \( \boxed{18} \)