BRI Dato un triangolo $$ A B C $$, isoscele sulla base $$ A B $$, considera sui lati obliqui $$ A C $$ e $$ B C $$, rispettivamente, due punti $$ P $$ e $$ Q $$ tali che $$ A P \cong B Q $$. Indicato con $$ R $$ il punto dintersezione di $$ A Q $$ e di $$ B P $$, dimostra che i due triango- te li $$ A R B $$ e $$ P R Q $$ sono isosceli.

Question

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Per dimostrare che i triangoli $$ A R B $$ e $$ P R Q $$ sono isosceli, consideriamo il triangolo $$ A B C $$ isoscele con la base $$ A B $$, ossia $$ A C \cong B C $$.

### Passo 1: Proprietà di Simmetria

Il triangolo $$ A B C $$ essendo isoscele sulla base $$ A B $$, possiede un'asse di simmetria che coincide con la mediana relativa alla base $$ A B $$. Questa mediana passa per il vertice $$ C $$ e per il punto medio di $$ A B $$.

### Passo 2: Posizionamento dei Punti $$ P $$ e $$ Q $$

Consideriamo i punti $$ P $$ su $$ A C $$ e $$ Q $$ su $$ B C $$ tale che $$ A P \cong B Q $$. A causa della simmetria del triangolo $$ A B C $$, i punti $$ P $$ e $$ Q $$ saranno simmetrici rispetto all'asse di simmetria del triangolo.

### Passo 3: Intersezione delle Diagonali $$ A Q $$ e $$ B P $$

Il punto $$ R $$, essere l'intersezione di $$ A Q $$ e $$ B P $$, si troverà sull'asse di simmetria del triangolo $$ A B C $$, poiché le diagonali provenienti da punti simmetrici resteranno simmetriche.

### Passo 4: Dimostrazione per il Triangolo $$ A R B $$

Dato che $$ R $$ giace sull'asse di simmetria, le distanze dal vertice $$ C $$ a $$ A $$ e $$ B $$ sono uguali, e anche $$ A R $$ deve essere uguale a $$ B R $$ per simmetria. Quindi:
$$
A R \cong B R
$$
Pertanto, il triangolo $$ A R B $$ è isoscele.

### Passo 5: Dimostrazione per il Triangolo $$ P R Q $$

Consideriamo ora il triangolo $$ P R Q $$. Dato che $$ P $$ e $$ Q $$ sono simmetrici rispetto all'asse di simmetria del triangolo $$ A B C $$ e $$ R $$ giace sull'asse stesso, le segmentazioni $$ P R $$ e $$ Q R $$ sono anch'esse simmetriche. Di conseguenza:
$$
P R \cong Q R
$$
Quindi, il triangolo $$ P R Q $$ è isoscele.

### Conclusione

Abbiamo dimostrato che entrambi i triangoli $$ A R B $$ e $$ P R Q $$ sono isosceli sfruttando la simmetria del triangolo originale $$ A B C $$ e le proprietà delle simmetrie delle segmentazioni coinvolte.
I triangoli $$ A R B $$ e $$ P R Q $$ sono isosceli perché, grazie alla simmetria del triangolo isoscele $$ A B C $$, i lati $$ A R $$ e $$ B R $$ sono uguali, e i lati $$ P R $$ e $$ Q R $$ sono uguali.

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