7. Développez en série de Maclaurin la fonction $$ f $$ d'équation $$ f(x)=e^{x / 2} $$ et déterminez l'intervalle de convergence.

Question

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Pour développer la fonction $$ f(x) = e^{x/2} $$ en série de Maclaurin et déterminer son intervalle de convergence, procédons comme suit :

### Série de Maclaurin de $$ f(x) = e^{x/2} $$

La série de Maclaurin de la fonction exponentielle $$ e^u $$ est donnée par :
$$
e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}
$$
En remplaçant $$ u $$ par $$ \frac{x}{2} $$, on obtient la série de Maclaurin pour $$ f(x) = e^{x/2} $$ :
$$
f(x) = e^{x/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n \, n!}
$$

### Intervalle de Convergence

Pour déterminer l'intervalle de convergence de cette série, considérons le rayon de convergence $$ R $$. La série exponentielle $$ e^u $$ converge pour tout $$ u \in \mathbb{R} $$, c'est-à-dire que son rayon de convergence est infini ($$ R = +\infty $$).

Dans notre cas, $$ u = \frac{x}{2} $$, ce qui ne restreint pas la convergence puisque le facteur $$ \frac{1}{2} $$ n'affecte pas la portée de $$ u $$. Donc, la série de Maclaurin de $$ e^{x/2} $$ converge pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$.

**Conclusion :**
$$
f(x) = e^{x/2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n \, n!} \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}
$$
L'intervalle de convergence est donc $$ \mathbb{R} $$ (tous les réels).
La série de Maclaurin pour $$ f(x) = e^{x/2} $$ est $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^n \, n!} $$ et elle converge pour tous les réels $$ x $$.

Développez en série de Maclaurin la fonction d’équation et
déterminez l’intervalle de convergence.

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