Exercice 3 : Dans certaines conditions, le taux de croissance $$ au $$ d'une population microbienne est donné par l'expression : $$ au=\left( au_{0} \mathrm{~S} ight) /(\mathrm{K}+\mathrm{S})^{2} $$; où S est la concentration en chlorure de sodium $$ (\mathrm{S}0) $$, $$ au_{0} $$ un taux de référence $$ \left( au_{0}0 ight) $$, supposé connu sans incertitude et K un paramétre caractérisant l'espéce microbienne étudiée $$ (\mathrm{K}0) $$. Donner l'incertitude relative sur $$ au $$ en utilisant la différentiation logarithmique. Exercice 4 : L'énergie E d'un photon est donnée par l'expression $$ \mathrm{E}=\hbar \omega $$ où $$ \hbar $$ est la constante réduite de Planck et $$ \omega $$ une pulsation. 1) Donner la dimension de la constante réduite de Planck $$ \hbar $$ en déduire son unité dans le système international. 2) Par ailleurs, la force d'attraction F entre deux corps de masse $$ \mathrm{m}_{1} $$ et $$ \mathrm{m}_{2} $$ distants de r est $$ \mathrm{F}=\mathrm{G} \frac{\mathrm{m}_{1} \cdot \mathrm{~m}_{2}}{\mathrm{r}^{2}} $$ donner la dimension de la constante de gravitation universelle G . 3) Le temps de Planck $$ \mathrm{t}_{p} $$ est une unité du système d'unités naturelles dit système d'unités de Planck. Donner son expression sachant qu'elle est une fonction monôme de $$ \hbar, \mathrm{G} $$ et c la célérité de la lumière.

Question

Exercice 3 : Dans certaines conditions, le taux de croissance $$ 	au $$ d'une population microbienne est donné par l'expression : $$ 	au=\left(	au_{0} \mathrm{~S}ight) /(\mathrm{K}+\mathrm{S})^{2} $$; où S est la concentration en chlorure de sodium $$ (\mathrm{S}>0) $$, $$ 	au_{0} $$ un taux de référence $$ \left(	au_{0}>0ight) $$, supposé connu sans incertitude et K un paramétre caractérisant l'espéce microbienne étudiée $$ (\mathrm{K}>0) $$. Donner l'incertitude relative sur $$ 	au $$ en utilisant la différentiation logarithmique. Exercice 4 : L'énergie E d'un photon est donnée par l'expression $$ \mathrm{E}=\hbar \omega $$ où $$ \hbar $$ est la constante réduite de Planck et $$ \omega $$ une pulsation. 1) Donner la dimension de la constante réduite de Planck $$ \hbar $$ en déduire son unité dans le système international. 2) Par ailleurs, la force d'attraction F entre deux corps de masse $$ \mathrm{m}_{1} $$ et $$ \mathrm{m}_{2} $$ distants de r est $$ \mathrm{F}=\mathrm{G} \frac{\mathrm{m}_{1} \cdot \mathrm{~m}_{2}}{\mathrm{r}^{2}} $$ donner la dimension de la constante de gravitation universelle G . 3) Le temps de Planck $$ \mathrm{t}_{p} $$ est une unité du système d'unités naturelles dit système d'unités de Planck. Donner son expression sachant qu'elle est une fonction monôme de $$ \hbar, \mathrm{G} $$ et c la célérité de la lumière.

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### Exercice 3

Pour déterminer l'incertitude relative sur $$ \tau $$ en utilisant la différentiation logarithmique, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. **Écrire l'expression de $$ \tau $$** :
   $$
   \tau = \frac{\tau_{0} S}{(K + S)^{2}}
   $$

2. **Appliquer le logarithme naturel** :
   $$
   \ln(\tau) = \ln(\tau_{0}) + \ln(S) - 2\ln(K + S)
   $$

3. **Différencier par rapport à $$ S $$** :
   En utilisant la règle de la chaîne, nous avons :
   $$
   \frac{d\tau}{\tau} = \frac{d\tau_{0}}{\tau_{0}} + \frac{dS}{S} - 2\frac{d(K + S)}{K + S}
   $$
   Comme $$ \tau_{0} $$ est constant, $$ d\tau_{0} = 0 $$, donc :
   $$
   \frac{d\tau}{\tau} = \frac{dS}{S} - 2\frac{d(K + S)}{K + S}
   $$

4. **Calculer $$ \frac{d(K + S)}{K + S} $$** :
   $$
   \frac{d(K + S)}{K + S} = \frac{dS}{K + S}
   $$

5. **Substituer dans l'expression de $$ \frac{d\tau}{\tau} $$** :
   $$
   \frac{d\tau}{\tau} = \frac{dS}{S} - 2\frac{dS}{K + S}
   $$

6. **Facteur commun** :
   $$
   \frac{d\tau}{\tau} = \left(1 - \frac{2S}{K + S}\right) \frac{dS}{S}
   $$

7. **Incertitude relative** :
   L'incertitude relative sur $$ \tau $$ est donc donnée par :
   $$
   \frac{\Delta \tau}{\tau} = \left(1 - \frac{2S}{K + S}\right) \frac{\Delta S}{S}
   $$

### Exercice 4

1. **Dimension de la constante réduite de Planck $$ \hbar $$** :
   L'énergie $$ E $$ d'un photon est donnée par $$ E = \hbar \omega $$. La dimension de l'énergie est $$ [E] = [M][L^2][T^{-2}] $$ et la dimension de la pulsation $$ \omega $$ est $$ [\omega] = [T^{-1}] $$. Donc, la dimension de $$ \hbar $$ est :
   $$
   [\hbar] = \frac{[E]}{[\omega]} = \frac{[M][L^2][T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [M][L^2][T^{-1}]
   $$
   Dans le système international, l'unité de $$ \hbar $$ est le joule-seconde (J·s).

2. **Dimension de la constante de gravitation universelle $$ G $$** :
   La force $$ F $$ est donnée par $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$. La dimension de la force est $$ [F] = [M][L][T^{-2}] $$. Donc, la dimension de $$ G $$ est :
   $$
   [G] = \frac{[F] \cdot [r^2]}{[m_1][m_2]} = \frac{[M][L][T^{-2}] \cdot [L^2]}{[M]^2} = [M^{-1}][L^3][T^{-2}]
   $$

3. **Expression du temps de Planck $$ t_p $$** :
   Le temps de Planck est une fonction monôme de $$ \hbar $$, $$ G $$ et $$ c $$. On peut l'exprimer comme :
   $$
   t_p = k \cdot \hbar^{a} G^{b} c^{c}
   $$
   Pour déterminer les exposants $$ a $$, $$ b $$, et $$ c $$, nous devons équilibrer les dimensions. En utilisant les dimensions de $$ \hbar $$, $$ G $$, et $$ c $$ :
   $$
   [t] = [T] = [\hbar^a][G^b][c^c]
   $$
   En résolvant ce système d'équations, on obtient :
   $$
   t_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}
   $$
   C'est l'expression du temps de Planck.
### Exercice 3 Pour trouver l'incertitude relative sur $$ \tau $$, nous avons utilisé la différentiation logarithmique et trouvé que : $$ \frac{\Delta \tau}{\tau} = \left(1 - \frac{2S}{K + S}\right) \frac{\Delta S}{S} $$ ### Exercice 4 1. **Dimension de $$ \hbar $$** : $$ [M][L^2][T^{-1}] $$, unité : joule-seconde (J·s). 2. **Dimension de $$ G $$** : $$ [M^{-1}][L^3][T^{-2}] $$. 3. **Expression de $$ t_p $$** : $$ t_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} $$.

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