Знакн корней квадратного уравнения. 9. При каких значениях параметра \( a \) все получаюшиеся корни уравнения \( (a-3) x^{2}-2 a x+6 a=0 \) положительны?

Чтобы все корни квадратного уравнения \((a - 3)x^{2} - 2a x + 6a = 0\) были положительными, необходимо выполнить следующие условия: 1. **Дискриминант \(D > 0\)**: Уравнение должно иметь два действительных корня. \[ D = (-2a)^{2} - 4(a - 3)(6a) = 4a^{2} - 24a(a - 3) = -20a^{2} + 72a > 0 \] Решая неравенство: \[ -20a^{2} + 72a > 0 \quad \Rightarrow \quad a(5a - 18) < 0 \] Получаем \(0 < a < \frac{18}{5}\). 2. **Сумма корней \(S > 0\)** и **произведение корней \(P > 0\)**: \[ S = \frac{2a}{a - 3} > 0 \quad \text{и} \quad P = \frac{6a}{a - 3} > 0 \] Для этих дробей необходимо, чтобы \(\frac{a}{a - 3} > 0\). Это выполняется, когда: - \(a > 3\) и \(a < \frac{18}{5}\), но так как \(\frac{18}{5} = 3.6 > 3\), то пересечение этих условий дает \(3 < a < \frac{18}{5}\). Таким образом, все корни уравнения положительны при параметре \(a\), удовлетворяющем неравенству: \[ 3 < a < \frac{18}{5} \] **Ответ:** Все корни уравнения положительны при параметре a, когда 3 < a < 18⁄5.