99 Un dé équilibré à six faces possède deux faces
rouges, une face blanche et trois faces vertes.
On lance ce dé deux fois.

Si l’on obtient deux fois "vert ", on perd $€$ .

Si l’on obtient deux fois "blanc ", on gagne $€$ .

Si l’on obtient deux fois "rouge ", on gagne $€$ .

Si les deux faces obtenues n’ont pas la même
couleur, on perd $€$ .

Modéliser | Déterminer la loi de probabilité de cette
expérience aléatoire.

Question

99 Un dé équilibré à six faces possède deux faces
rouges, une face blanche et trois faces vertes.
On lance ce dé deux fois.

Si l’on obtient deux fois "vert ", on perd $€$ .
Si l’on obtient deux fois "blanc ", on gagne $€$ .
Si l’on obtient deux fois "rouge ", on gagne $€$ .
Si les deux faces obtenues n’ont pas la même
couleur, on perd $€$ .
Modéliser | Déterminer la loi de probabilité de cette
expérience aléatoire.

UpStudy AI · Accepted Answer

Nous avons un dé équilibré à six faces avec les couleurs suivantes : 2 rouges, 1 blanche et 3 vertes. Les résultats possibles lors de deux lancers sont : (Rouge, Rouge), (Rouge, Blanc), (Rouge, Vert), (Blanc, Rouge), (Blanc, Blanc), (Blanc, Vert), (Vert, Rouge), (Vert, Blanc), (Vert, Vert), (Vert, Vert).
Nous allons calculer la probabilité de chaque événement :

1. **Deux fois "vert"** : 
   - Probabilité d'obtenir "vert" au premier lancer : $$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
   - Probabilité d'obtenir "vert" au deuxième lancer : $$ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
   - Probabilité totale : $$ P(VV) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$

2. **Deux fois "blanc"** : 
   - Probabilité d'obtenir "blanc" au premier lancer : $$ \frac{1}{6} $$
   - Probabilité d'obtenir "blanc" au deuxième lancer : $$ \frac{1}{6} $$
   - Probabilité totale : $$ P(BB) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $$

3. **Deux fois "rouge"** : 
   - Probabilité d'obtenir "rouge" au premier lancer : $$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
   - Probabilité d'obtenir "rouge" au deuxième lancer : $$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
   - Probabilité totale : $$ P(RR) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $$

4. **Couleurs différentes** : 
   - Les combinaisons possibles sont (Rouge, Blanc), (Rouge, Vert), (Blanc, Rouge), (Blanc, Vert), (Vert, Rouge), (Vert, Blanc).
   - Nous allons calculer la probabilité de chaque combinaison et les additionner.

- **Rouge et Blanc** : $$ P(RB) = \frac{2}{6} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{2}{36} + \frac{2}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $$
   - **Rouge et Vert** : $$ P(RV) = \frac{2}{6} \times \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $$
   - **Blanc et Vert** : $$ P(BV) = \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{3}{36} + \frac{3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$

En additionnant toutes les probabilités de couleurs différentes :
   $$
   P(\text{différentes}) = P(RB) + P(RV) + P(BV) = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}
   $$

Pour additionner ces fractions, nous devons les mettre au même dénominateur. Le dénominateur commun est 18 :
   $$
   P(\text{différentes}) = \frac{2}{18} + \frac{6}{18} + \frac{3}{18} = \frac{11}{18}
   $$

5. **Vérification de la somme des probabilités** :
   $$
   P(VV) + P(BB) + P(RR) + P(\text{différentes}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{11}{18}
   $$
   Convertissons tout au même dénominateur (36) :
   $$
   = \frac{9}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{22}{36} = \frac{36}{36} = 1
   $$

Ainsi, la loi de probabilité est déterminée.

Modéliser la loi de probabilitéVoici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire :

- $$ P(VV) = \frac{1}{4} $$ (perte de 5 €)
- $$ P(BB) = \frac{1}{36} $$ (gain de 20 €)
- $$ P(RR) = \frac{1}{9} $$ (gain de 5 €)
- $$ P(\text{différentes}) = \frac{11}{18} $$ (perte de 10 €)
Voici la loi de probabilité de l'expérience aléatoire :

- $$ P(VV) = \frac{1}{4} $$ (perte de 5 €)
- $$ P(BB) = \frac{1}{36} $$ (gain de 20 €)
- $$ P(RR) = \frac{1}{9} $$ (gain de 5 €)
- $$ P(\text{différentes}) = \frac{11}{18} $$ (perte de 10 €)
La loi de probabilité de cette expérience aléatoire est modélisée comme suit : - $$ P(VV) = \frac{1}{4} $$ : perte de 5 € - $$ P(BB) = \frac{1}{36} $$ : gain de 20 € - $$ P(RR) = \frac{1}{9} $$ : gain de 5 € - $$ P(\text{différentes}) = \frac{11}{18} $$ : perte de 10 €

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