B) Sorent $$ A, B, C $$ et $$ D $$ quaure points du plan ou de l'espace muni d'un repere orthonormé Calculez $$ A \vec{B} \cdot \overrightarrow{C b}) $$ si $$ \begin{array}{ll} ext { 1) } \overrightarrow{A B}\binom{-5}{1} ext { et } \overrightarrow{C D}\binom{-3}{2} & ext { 2) } A(3 ; 4), B(-2 ; 1), C(4 ;-2) ext { el } D(-1 ;-3) \ ext { 3) } \overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c}4 \ 1 \ -2\end{array} ight) ext { et } \overrightarrow{C D}\left(\begin{array}{c}-3 \ -1 \ 2\end{array} ight) & ext { 4) } A(3 ; 0 ; 4), B(-2 ; 1 ; 1), C(1 ;-2 ;-3) ext { et } D(-1 ;-3 ; 2)\end{array} $$

Question

B) Sorent $$ A, B, C $$ et $$ D $$ quaure points du plan ou de l'espace muni d'un repere orthonormé Calculez $$ A \vec{B} \cdot \overrightarrow{C b}) $$ si $$ \begin{array}{ll}	ext { 1) } \overrightarrow{A B}\binom{-5}{1} 	ext { et } \overrightarrow{C D}\binom{-3}{2} & 	ext { 2) } A(3 ; 4), B(-2 ; 1), C(4 ;-2) 	ext { el } D(-1 ;-3) \ 	ext { 3) } \overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c}4 \ 1 \ -2\end{array}ight) 	ext { et } \overrightarrow{C D}\left(\begin{array}{c}-3 \ -1 \ 2\end{array}ight) & 	ext { 4) } A(3 ; 0 ; 4), B(-2 ; 1 ; 1), C(1 ;-2 ;-3) 	ext { et } D(-1 ;-3 ; 2)\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre le problème, nous allons calculer le produit scalaire $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} $$ pour chaque cas donné.

### 1) Cas avec $$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -5 \ 1 \end{pmatrix} $$ et $$ \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \end{pmatrix} $$

Le produit scalaire est donné par la formule :
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
$$
où $$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix} $$ et $$ \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix} $$.

Calculons :
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-5) \cdot (-3) + (1) \cdot (2)
$$
$$
= 15 + 2 = 17
$$

### 2) Cas avec $$ A(3 ; 4), B(-2 ; 1), C(4 ; -2) $$ et $$ D(-1 ; -3) $$

Calculons d'abord les vecteurs $$ \overrightarrow{AB} $$ et $$ \overrightarrow{CD} $$ :
$$
\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix} -2 - 3 \ 1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \ -3 \end{pmatrix}
$$
$$
\overrightarrow{CD} = D - C = \begin{pmatrix} -1 - 4 \ -3 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \ -1 \end{pmatrix}
$$

Calculons le produit scalaire :
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-5) \cdot (-5) + (-3) \cdot (-1)
$$
$$
= 25 + 3 = 28
$$

### 3) Cas avec $$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \ 1 \ -2 \end{pmatrix} $$ et $$ \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} -3 \ -1 \ 2 \end{pmatrix} $$

Calculons le produit scalaire :
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 4 \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2
$$
$$
= -12 - 1 - 4 = -17
$$

### 4) Cas avec $$ A(3 ; 0 ; 4), B(-2 ; 1 ; 1), C(1 ; -2 ; -3) $$ et $$ D(-1 ; -3 ; 2) $$

Calculons d'abord les vecteurs $$ \overrightarrow{AB} $$ et $$ \overrightarrow{CD} $$ :
$$
\overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix} -2 - 3 \ 1 - 0 \ 1 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \ 1 \ -3 \end{pmatrix}
$$
$$
\overrightarrow{CD} = D - C = \begin{pmatrix} -1 - 1 \ -3 - (-2) \ 2 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ -1 \ 5 \end{pmatrix}
$$

Calculons le produit scalaire :
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-5) \cdot (-2) + (1) \cdot (-1) + (-3) \cdot 5
$$
$$
= 10 - 1 - 15 = -6
$$

### Résumé des résultats
1. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 17 $$
2. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 28 $$
3. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -17 $$
4. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -6 $$
Calculs des produits scalaires pour chaque cas : 1. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 17 $$ 2. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 28 $$ 3. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -17 $$ 4. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -6 $$

B) Sorent et quaure points du plan ou de l’espace muni d’un repere orthonormé Calculez si

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions