$$ n \perp $$ Una moneita $$ m=100 $$ é collogaïa su un disco rocance od une disegnza $$ r=15^{\circ} \mathrm{cm} $$ call asse. $$ \mu s=0,7 $$ Deiermina u mossima: a) aftinche non slicti. b) Nol caso ho une forfe F1 che é o, in verso il centro non slite.

Question

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Certamente! Analizziamo il problema passo dopo passo.

### Dati forniti:
- **Massa della moneta**, $$ m = 100 \ \text{g} = 0{,}1 \ \text{kg} $$
- **Raggio del disco**, $$ r = 15 \ \text{cm} = 0{,}15 \ \text{m} $$
- **Coefficiente di attrito statico**, $$ \mu_s = 0{,}7 $$
- **Accelerazione di gravità**, $$ g = 9{,}81 \ \text{m/s}^2 $$

### a) Determinare la velocità angolare massima affinché la moneta non scivoli.

Per evitare che la moneta scivoli, la forza di attrito statico deve essere almeno uguale alla forza centrifuga che agisce sulla moneta. La forza centrifuga è data da:

$$
F_{\text{centrifuga}} = m \omega^2 r
$$

La forza di attrito statico massima disponibile è:

$$
F_{\text{attrito}} = \mu_s \cdot N = \mu_s \cdot m \cdot g
$$

Per non avere scivolamento:

$$
F_{\text{attrito}} \geq F_{\text{centrifuga}}
$$

$$
\mu_s \cdot m \cdot g \geq m \omega^2 r
$$

Semplificando per $$ m $$:

$$
\mu_s \cdot g \geq \omega^2 r
$$

Da cui la velocità angolare massima $$ \omega_{\text{max}} $$ è:

$$
\omega_{\text{max}} = \sqrt{\frac{\mu_s \cdot g}{r}}
$$

Calcoliamo:

$$
\omega_{\text{max}} = \sqrt{\frac{0{,}7 \times 9{,}81}{0{,}15}} = \sqrt{\frac{6{,}867}{0{,}15}} \approx \sqrt{45{,}78} \approx 6{,}764 \ \text{rad/s}
$$

### b) Nel caso c'è una forza $$ F_1 $$ verso il centro, determinare la massima $$ F_1 $$ affinché la moneta non scivoli.

Supponiamo che $$ F_1 $$ sia una forza aggiuntiva applicata verso il centro del disco. Questa forza contribuisce alla forza centripeta necessaria per mantenere la moneta in equilibrio senza scivolare.

La forza centripeta totale richiesta è:

$$
F_{\text{centripeta totale}} = m \omega^2 r
$$

La forza disponibile per fornire questa centripeta è la somma della forza di attrito statico e della forza aggiuntiva $$ F_1 $$:

$$
F_{\text{attrito}} + F_1 \geq m \omega^2 r
$$

$$
\mu_s \cdot m \cdot g + F_1 \geq m \omega^2 r
$$

Isoliamo $$ F_1 $$:

$$
F_1 \geq m \omega^2 r - \mu_s \cdot m \cdot g
$$

Per non superare il limite di attrito e prevenire lo scivolamento, la forza $$ F_1 $$ massima consentita è:

$$
F_{1_{\text{max}}} = \mu_s \cdot m \cdot g - m \omega^2 r
$$

Sostituendo i valori numerici:

$$
F_{1_{\text{max}}} = 0{,}7 \times 0{,}1 \times 9{,}81 - 0{,}1 \times \omega^2 \times 0{,}15
$$

Tuttavia, se consideriamo la velocità angolare massima calcolata in (a), $$ \omega_{\text{max}} = 6{,}764 \ \text{rad/s} $$, allora:

$$
F_{1_{\text{max}}} = 0{,}7 \times 0{,}1 \times 9{,}81 - 0{,}1 \times (6{,}764)^2 \times 0{,}15
$$

$$
F_{1_{\text{max}}} = 0{,}6867 - 0{,}1 \times 45{,}78 \times 0{,}15
$$

$$
F_{1_{\text{max}}} = 0{,}6867 - 0{,}6867 = 0 \ \text{N}
$$

Questo risultato indica che se la moneta ruota alla massima velocità angolare senza scivolare, non è possibile applicare una forza aggiuntiva verso il centro senza causare lo scivolamento. Pertanto, per applicare una forza $$ F_1 $$ verso il centro senza scivolamento, è necessario operare a velocità angolari inferiori a $$ \omega_{\text{max}} $$.

**Conclusione:**
- **a)** La velocità angolare massima affinché la moneta non scivoli è circa $$ 6{,}764 \ \text{rad/s} $$.
- **b)** Se si applica una forza $$ F_1 $$ verso il centro, la forza massima che può essere applicata senza causare scivolamento dipende dalla velocità angolare; alla massima velocità trovata in (a), $$ F_{1_{\text{max}}} = 0 \ \text{N} $$, indicando che non è possibile applicare forza aggiuntiva senza superare il limite di attrito.
### Risposta: **a) Velocità angolare massima per evitare lo scivolamento:** La moneta non scivolerà se la velocità angolare è inferiore a **6,76 rad/s**. **b) Massima forza $$ F_1 $$ verso il centro:** Per evitare lo scivolamento, la forza $$ F_1 $$ massima che può essere applicata verso il centro è **0 N**.

Una moneita é collogaïa su un disco rocance od une disegnza call asse.

Deiermina u mossima:
a) aftinche non slicti.
b) Nol caso ho une forfe F1 che é o, in verso il centro non slite.

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