La función de producción de Cobb-Douglas es \( f(x, y)=100 x^{0.75} y^{0.25} \) ¿Cuántas unidades en total de trabajo y capital se deben producir para obtener el nivel de producción maximo, si el coste total de trabajo \( x(a \$ 48 \) cada unidad) y del capital y (a \( \$ 36 \) cada unidad) está limitado a \( \$ 50000 \) ? a. \( x=791 \) unidades de trabajo, \( y=357 \) unidades de capital b. \( x=731 \) unidades de trabajo, \( y=327 \) unidades de capital c. \( x=781 \) unidades de trabajo, \( y=347 \) unidades de capital - d \( x=771 \) unidades de trabajo, \( y=367 \) unidades de capital

Para determinar las unidades óptimas de trabajo \( x \) y capital \( y \) que maximicen la producción bajo la restricción de coste, seguimos los siguientes pasos utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. **Función de Producción:** \[ f(x, y) = 100 \, x^{0.75} \, y^{0.25} \] **Restricción de Coste:** \[ 48x + 36y = 50,000 \] **1. Configuración del Lagrangiano:** \[ \mathcal{L} = 100 \, x^{0.75} \, y^{0.25} + \lambda (50,000 - 48x - 36y) \] **2. Derivadas Parciales e Igualación a Cero:** \[ \begin{cases} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 75 \, x^{-0.25} \, y^{0.25} - 48\lambda = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 25 \, x^{0.75} \, y^{-0.75} - 36\lambda = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 50,000 - 48x - 36y = 0 \end{cases} \] **3. Relación entre \( x \) y \( y \):** Dividiendo las dos primeras ecuaciones: \[ \frac{75 \, x^{-0.25} \, y^{0.25}}{25 \, x^{0.75} \, y^{-0.75}} = \frac{48}{36} \\ \Rightarrow 3 \cdot \frac{y}{x} = \frac{4}{3} \\ \Rightarrow y = \frac{4}{9}x \] **4. Sustitución en la Restricción de Coste:** \[ 48x + 36\left(\frac{4}{9}x\right) = 50,000 \\ 48x + 16x = 64x = 50,000 \\ x = \frac{50,000}{64} \approx 781.25 \] \[ y = \frac{4}{9} \times 781.25 \approx 347.22 \] **Redondeando a las opciones disponibles:** - \( x \approx 781 \) unidades de trabajo - \( y \approx 347 \) unidades de capital **Respuesta Correcta:** c. \( x=781 \) unidades de trabajo, \( y=347 \) unidades de capital