X. Esercizio 13.10 Trovare, se esiste, un'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} $$ tale che $$ F(1,1)=(1,-1,-1) \quad F(-1,-1)=(-1,1,1) \quad F(1,0)=(1,0,-3) $$ È unica tale applicazione?

Question

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Per determinare se esiste un'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} $$ che soddisfi le condizioni fornite e verificare l'unicità di tale applicazione, seguiamo i passaggi seguenti.

### 1. Definizione Generale di $$ F $$

Un'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} $$ è completamente determinata dalle sue immagini sui vettori della base di $$ \mathbb{R}^{2} $$. Prendiamo come base canonica i vettori $$ \mathbf{e}_1 = (1,0) $$ e $$ \mathbf{e}_2 = (0,1) $$. Allora, possiamo esprimere $$ F $$ come:
$$
F(a, b) = a \cdot F(\mathbf{e}_1) + b \cdot F(\mathbf{e}_2)
$$

### 2. Utilizzo delle Condizioni Fornite

Abbiamo le seguenti condizioni:
$$
\begin{cases}
F(1,1) = (1, -1, -1) \
F(-1,-1) = (-1, 1, 1) \
F(1,0) = (1, 0, -3)
\end{cases}
$$

Espandiamo ciascuna condizione utilizzando la linearità di $$ F $$:

1. **Prima condizione:**
$$
F(1,1) = F(\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2) = F(\mathbf{e}_1) + F(\mathbf{e}_2) = (1, -1, -1)
$$

2. **Seconda condizione:**
$$
F(-1,-1) = F(-\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2) = -F(\mathbf{e}_1) - F(\mathbf{e}_2) = (-1, 1, 1)
$$
Notiamo che questa è semplicemente l'opposto della prima equazione, quindi non fornisce informazioni aggiuntive.

3. **Terza condizione:**
$$
F(1,0) = F(\mathbf{e}_1) = (1, 0, -3)
$$
Questo ci dà direttamente l'immagine di $$ \mathbf{e}_1 $$.

### 3. Determinazione di $$ F(\mathbf{e}_2) $$

Dalla prima condizione:
$$
F(\mathbf{e}_1) + F(\mathbf{e}_2) = (1, -1, -1)
$$
Sostituiamo $$ F(\mathbf{e}_1) = (1, 0, -3) $$:
$$
(1, 0, -3) + F(\mathbf{e}_2) = (1, -1, -1) \
F(\mathbf{e}_2) = (0, -1, 2)
$$

### 4. Verifica della Consistenza

Verifichiamo la seconda condizione utilizzando i valori trovati:
$$
-F(\mathbf{e}_1) - F(\mathbf{e}_2) = - (1, 0, -3) - (0, -1, 2) = (-1, 0, 3) + (0, 1, -2) = (-1, 1, 1)
$$
Questo coincide con la seconda condizione data, confermando la coerenza delle soluzioni.

### 5. Espressione Finale di $$ F $$

Avendo determinato $$ F(\mathbf{e}_1) $$ e $$ F(\mathbf{e}_2) $$, possiamo esprimere l'applicazione lineare $$ F $$ come:
$$
F(a, b) = a \cdot (1, 0, -3) + b \cdot (0, -1, 2) = (a, -b, -3a + 2b)
$$

### 6. Unicità dell'Applicazione Lineare

Poiché abbiamo determinato in modo unico le immagini dei vettori della base di $$ \mathbb{R}^{2} $$, l'applicazione $$ F $$ è **unica**. Non esistono altre applicazioni lineari che soddisfano tutte le condizioni fornite.

### **Conclusione**

Sì, esiste un'unica applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} $$ che soddisfa le condizioni date. L'applicazione è definita da:
$$
F(a, b) = (a, -b, -3a + 2b)
$$
Esiste un'unica applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} $$ che soddisfa le condizioni date, definita da: $$ F(a, b) = (a, -b, -3a + 2b) $$

X. Esercizio 13.10 Trovare, se esiste, un’applicazione lineare tale che

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