C1 Dato un triangolo \( A B C \), isoscele sulla base \( B C \), considera un punto \( P \) interno al triangolo ed equidistante da da \( C \) Dimostra che \( A P \) e bisettrice dell angolo \( B A C \). DIsegna doe triangoli isosceli \( A B C \& A B C \), aventi entrambi come base \( A B \) e appartenenti a semipiani opon

Per dimostrare che \( AP \) è la bisettrice dell'angolo \( \angle BAC \) nel triangolo isoscele \( ABC \) con base \( BC \), consideriamo quanto segue: ### Dati: - \( ABC \) è un triangolo isoscele con base \( BC \), quindi \( AB = AC \). - \( P \) è un punto interno al triangolo tale che è equidistante da \( B \) e \( C \). ### Obiettivo: Dimostrare che \( AP \) è la bisettrice dell'angolo \( \angle BAC \). ### Dimostrazione: 1. **Proprietà del Triangolo Isoscele:** - Poiché \( ABC \) è isoscele con base \( BC \), l'altezza relativa alla base \( BC \), la mediana e la bisettrice dell'angolo \( \angle BAC \) coincidono. Indichiamo questa linea come \( AM \), dove \( M \) è il punto medio di \( BC \). 2. **Posizione del Punto \( P \):** - Dato che \( P \) è equidistante da \( B \) e \( C \), esso giace sulla mediatrice del segmento \( BC \), che coincide con la mediana \( AM \) nel triangolo isoscele. 3. **Conseguenza della Posizione di \( P \):** - Poiché \( P \) si trova su \( AM \) e \( AM \) è anche la bisettrice dell'angolo \( \angle BAC \), si deduce che la retta \( AP \) coincide con \( AM \). 4. **Conclusione:** - Pertanto, \( AP \) è la mediana, l'altezza e contemporaneamente la bisettrice dell'angolo \( \angle BAC \) nel triangolo isoscele \( ABC \). ### Disegno dei Due Triangoli Isosceli: Per completare l'attività, consideriamo la costruzione di due triangoli isosceli distinti aventi base \( AB \) e appartenenti a semipiani opposti rispetto a questa base. 1. **Primo Triangolo Isoscele \( \triangle ABC \):** - Base \( AB \). - Punto \( C \) situato su un semipiano sopra la base \( AB \). - \( AC = BC \). 2. **Secondo Triangolo Isoscele \( \triangle ABD \):** - Base \( AB \). - Punto \( D \) situato sul semipiano opposto rispetto a \( C \), rispetto alla base \( AB \). - \( AD = BD \). Questo disegno evidenzia come, partendo dalla stessa base \( AB \), si possono costruire due triangoli isosceli simmetrici rispetto alla base, appartenenti a semipiani opposti. ### Rappresentazione Grafica: Sebbene non possa fornire un disegno diretto, si può immaginare: - Disegnare la base \( BC \) orizzontale. - Tracciare la mediana \( AM \) perpendicolare a \( BC \). - Posizionare il punto \( P \) su \( AM \). - Costruire i triangoli isosceli \( ABC \) e \( ABD \) con \( AB \) come base e punti \( C \) e \( D \) simmetrici rispetto ad \( AB \). ### Conclusione Abbiamo dimostrato che nel triangolo isoscele \( ABC \), un punto \( P \) interno equidistante dai vertici della base \( BC \) giace sulla mediana \( AM \), che è anche la bisettrice dell'angolo \( \angle BAC \). Inoltre, abbiamo descritto come disegnare due triangoli isosceli con la stessa base appartenenti a semipiani opposti.