298 Determina l'equazione della circonferenza circo- scritta al triangolo i cui lati giacciono sulle rette di equazioni \( y=-3 x+14, y=x+2 \) e \( x+3 y=2 \). \( \left[x^{2}+y^{2}-5 x-3 y-4=0\right] \)

Per determinare l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo i cui lati giacciono sulle rette date, seguiamo i seguenti passaggi: ### 1. Trovare i vertici del triangolo Le rette fornite sono: - \( L_1: y = -3x + 14 \) - \( L_2: y = x + 2 \) - \( L_3: x + 3y = 2 \) **Intersezione di \( L_1 \) e \( L_2 \) (Vertice A):** \[ \begin{cases} y = -3x + 14 \\ y = x + 2 \end{cases} \] Uguagliando le due equazioni: \[ -3x + 14 = x + 2 \\ -4x = -12 \\ x = 3 \\ y = 3 + 2 = 5 \] **Vertice A:** \( (3, 5) \) --- **Intersezione di \( L_2 \) e \( L_3 \) (Vertice B):** \[ \begin{cases} y = x + 2 \\ x + 3y = 2 \end{cases} \] Sostituendo \( y \) nella seconda equazione: \[ x + 3(x + 2) = 2 \\ 4x + 6 = 2 \\ 4x = -4 \\ x = -1 \\ y = -1 + 2 = 1 \] **Vertice B:** \( (-1, 1) \) --- **Intersezione di \( L_1 \) e \( L_3 \) (Vertice C):** \[ \begin{cases} y = -3x + 14 \\ x + 3y = 2 \end{cases} \] Sostituendo \( y \) nella seconda equazione: \[ x + 3(-3x + 14) = 2 \\ x - 9x + 42 = 2 \\ -8x = -40 \\ x = 5 \\ y = -3(5) + 14 = -15 + 14 = -1 \] **Vertice C:** \( (5, -1) \) ### 2. Trovare il centro e il raggio della circonferenza Il centro della circonferenza circoscritta è l'intersezione delle bisettrici perpendicolari di due lati del triangolo. **Bisettore perpendicolare di AB:** - **Pendenza di AB:** \( m_{AB} = \frac{5 - 1}{3 - (-1)} = 1 \) - **Pendenza perpendicolare:** \( m_{\perp} = -1 \) - **Punto medio di AB:** \( M_1 = \left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{5 + 1}{2} \right) = (1, 3) \) - **Equazione della bisettrice:** \( y - 3 = -1(x - 1) \) quindi \( y = -x + 4 \) **Bisettore perpendicolare di AC:** - **Pendenza di AC:** \( m_{AC} = \frac{-1 - 5}{5 - 3} = -3 \) - **Pendenza perpendicolare:** \( m_{\perp} = \frac{1}{3} \) - **Punto medio di AC:** \( M_2 = \left( \frac{3 + 5}{2}, \frac{5 + (-1)}{2} \right) = (4, 2) \) - **Equazione della bisettrice:** \( y - 2 = \frac{1}{3}(x - 4) \) quindi \( y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \) **Intersezione delle bisettrici per trovare il centro \( (h, k) \):** \[ \begin{cases} y = -x + 4 \\ y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \end{cases} \] Uguagliando: \[ -x + 4 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \\ - \frac{4}{3}x = -\frac{10}{3} \\ x = \frac{10}{4} = 2.5 \\ y = -2.5 + 4 = 1.5 \] **Centro:** \( \left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2} \right) \) **Calcolo del raggio:** \[ r^2 = (3 - \frac{5}{2})^2 + \left(5 - \frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{49}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \] ### 3. Equazione della circonferenza L'equazione generale della circonferenza con centro \( (h, k) \) e raggio \( r \) è: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Sostituendo i valori trovati: \[ \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = 12.5 \] Espandendo e semplificando: \[ x^2 - 5x + \frac{25}{4} + y^2 - 3y + \frac{9}{4} = \frac{25}{2} \\ x^2 + y^2 -5x -3y + \frac{34}{4} = \frac{25}{2} \\ x^2 + y^2 -5x -3y -4 = 0 \] **Conclusione:** L'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo è: \[ x^{2} + y^{2} -5x -3y -4 = 0 \]