4. Ein Baggersee von $$ 1200 \mathrm{~m}^{2} $$ Große wird jede Woche um $$ 700 \mathrm{~m}^{2} $$ vergrößert. Eine Algenart bedeckt zu Beginn der Baggerarbeiten $$ 1 \mathrm{~m}^{2} $$ Wasserflache. Die mit Algen bedeckte Flache verdrelfacht sich jede Woche. a) Erstelle fur die Zunahme der Wasserflache und fur das Wachstum der Algen eine Tabelle. Beschreibe jeweils die Art des Wachstums. Gib jeweils einen Funktionsterm an. b) Zeichne die Graphen. Wann ist die ganze Wasserflache mit Algen bedeckt?

Question

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**a) Erstellung der Tabellen:**

1. **Zunahme der Wasserfläche (arithmetisches Wachstum):**

| Woche $$ n $$ | Wasserfläche $$ A_n $$ (m²) |
|---------------|------------------------------|
| 0             | 1200                         |
| 1             | 1200 + 700 = 1900            |
| 2             | 1900 + 700 = 2600            |
| 3             | 2600 + 700 = 3300            |
| 4             | 3300 + 700 = 4000            |
| 5             | 4000 + 700 = 4700            |
| ...           | ...                          |

- **Art des Wachstums:** *Arithmetisches Wachstum* (lineare Zunahme).
- **Funktionsterm:** $$ A(n) = 1200 + 700n $$, wobei $$ n $$ die Anzahl der Wochen darstellt.

2. **Wachstum der Algen (geometrisches Wachstum):**

| Woche $$ n $$ | Algenfläche $$ B_n $$ (m²) |
|---------------|-----------------------------|
| 0             | 1                           |
| 1             | 1 × 3 = 3                    |
| 2             | 3 × 3 = 9                    |
| 3             | 9 × 3 = 27                   |
| 4             | 27 × 3 = 81                  |
| 5             | 81 × 3 = 243                 |
| ...           | ...                         |

- **Art des Wachstums:** *Geometrisches Wachstum* (exponentielle Zunahme).
- **Funktionsterm:** $$ B(n) = 3^n $$, wobei $$ n $$ die Anzahl der Wochen darstellt.

---

**Erklärung der Wachstumstypen:**

- **Arithmetisches Wachstum:** Die Wasserfläche vergrößert sich wöchentlich um einen konstanten Betrag (700 m²). Dies führt zu einer linearen Zunahme über die Zeit.
  
- **Geometrisches Wachstum:** Die mit Algen bedeckte Fläche vergrößert sich wöchentlich um einen festen Faktor (Verdreifachung). Dies führt zu einer exponentiellen Zunahme über die Zeit.
**a) Tabelle und Wachstumstypen:** 1. **Zunahme der Wasserfläche (arithmetisches Wachstum):** | Woche $$ n $$ | Wasserfläche $$ A_n $$ (m²) | |---------------|------------------------------| | 0 | 1200 | | 1 | 1900 | | 2 | 2600 | | 3 | 3300 | | 4 | 4000 | | 5 | 4700 | - **Art des Wachstums:** Lineare Zunahme. - **Funktionsterm:** $$ A(n) = 1200 + 700n $$. 2. **Wachstum der Algen (geometrisches Wachstum):** | Woche $$ n $$ | Algenfläche $$ B_n $$ (m²) | |---------------|-----------------------------| | 0 | 1 | | 1 | 3 | | 2 | 9 | | 3 | 27 | | 4 | 81 | | 5 | 243 | - **Art des Wachstums:** Exponentielle Zunahme. - **Funktionsterm:** $$ B(n) = 3^n $$. **b) Graphen und Zeitpunkt der vollständigen Algenbedeckung:** - **Graph der Wasserfläche:** Eine geradlinige Linie, die von 1200 m² anfängt und sich wöchentlich um 700 m² erhöht. - **Graph der Algenfläche:** Eine exponentielle Kurve, die von 1 m² anfängt und sich wöchentlich dreifach vergrößert. **Wann ist die ganze Wasserfläche mit Algen bedeckt?** Die Algen bedecken die Wasserfläche vollständig, wenn $$ B(n) \geq A(n) $$. Lösen wir die Gleichung $$ 3^n \geq 1200 + 700n $$: - Berechnen wir für $$ n = 5 $$: - $$ B(5) = 3^5 = 243 $$ m² - $$ A(5) = 1200 + 700 	imes 5 = 4700 $$ m² Da $$ 243 < 4700 $$, sind die Algen noch nicht überall bedeckt. - Berechnen wir für $$ n = 6 $$: - $$ B(6) = 3^6 = 729 $$ m² - $$ A(6) = 1200 + 700 	imes 6 = 5400 $$ m² Noch immer $$ 729 < 5400 $$. - Berechnen wir für $$ n = 7 $$: - $$ B(7) = 3^7 = 2187 $$ m² - $$ A(7) = 1200 + 700 	imes 7 = 6300 $$ m² Noch $$ 2187 < 6300 $$. - Berechnen wir für $$ n = 8 $$: - $$ B(8) = 3^8 = 6561 $$ m² - $$ A(8) = 1200 + 700 	imes 8 = 7000 $$ m² Endlich $$ 6561 > 7000 $$, also sind die Algen ab Woche 8 über die gesamte Wasserfläche verteilt. **Antwort:** Die ganze Wasserfläche ist ab der 8. Woche mit Algen bedeckt.

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Woche	Wasserfläche (m²)
0	1200
1	1200 + 700 = 1900
2	1900 + 700 = 2600
3	2600 + 700 = 3300
4	3300 + 700 = 4000
5	4000 + 700 = 4700
…	…

Woche	Algenfläche (m²)
0	1
1	1 × 3 = 3
2	3 × 3 = 9
3	9 × 3 = 27
4	27 × 3 = 81
5	81 × 3 = 243
…	…

Woche	Wasserfläche	Algenfläche
0	1200	1
1	1900	4
2	2600	16
3	3300	64
4	4000	256
5	4700	1024
6	5400	4096
7	6100	16384