4. Ein Baggersee von \( 1200 \mathrm{~m}^{2} \) Große wird jede Woche um \( 700 \mathrm{~m}^{2} \) vergrößert. Eine Algenart bedeckt zu Beginn der Baggerarbeiten \( 1 \mathrm{~m}^{2} \) Wasserflache. Die mit Algen bedeckte Flache verdrelfacht sich jede Woche. a) Erstelle fur die Zunahme der Wasserflache und fur das Wachstum der Algen eine Tabelle. Beschreibe jeweils die Art des Wachstums. Gib jeweils einen Funktionsterm an. b) Zeichne die Graphen. Wann ist die ganze Wasserflache mit Algen bedeckt?

**a) Tabelle und Wachstumstypen:** 1. **Zunahme der Wasserfläche (arithmetisches Wachstum):** | Woche \( n \) | Wasserfläche \( A_n \) (m²) | |---------------|------------------------------| | 0 | 1200 | | 1 | 1900 | | 2 | 2600 | | 3 | 3300 | | 4 | 4000 | | 5 | 4700 | - **Art des Wachstums:** Lineare Zunahme. - **Funktionsterm:** \( A(n) = 1200 + 700n \). 2. **Wachstum der Algen (geometrisches Wachstum):** | Woche \( n \) | Algenfläche \( B_n \) (m²) | |---------------|-----------------------------| | 0 | 1 | | 1 | 3 | | 2 | 9 | | 3 | 27 | | 4 | 81 | | 5 | 243 | - **Art des Wachstums:** Exponentielle Zunahme. - **Funktionsterm:** \( B(n) = 3^n \). **b) Graphen und Zeitpunkt der vollständigen Algenbedeckung:** - **Graph der Wasserfläche:** Eine geradlinige Linie, die von 1200 m² anfängt und sich wöchentlich um 700 m² erhöht. - **Graph der Algenfläche:** Eine exponentielle Kurve, die von 1 m² anfängt und sich wöchentlich dreifach vergrößert. **Wann ist die ganze Wasserfläche mit Algen bedeckt?** Die Algen bedecken die Wasserfläche vollständig, wenn \( B(n) \geq A(n) \). Lösen wir die Gleichung \( 3^n \geq 1200 + 700n \): - Berechnen wir für \( n = 5 \): - \( B(5) = 3^5 = 243 \) m² - \( A(5) = 1200 + 700 \times 5 = 4700 \) m² Da \( 243 < 4700 \), sind die Algen noch nicht überall bedeckt. - Berechnen wir für \( n = 6 \): - \( B(6) = 3^6 = 729 \) m² - \( A(6) = 1200 + 700 \times 6 = 5400 \) m² Noch immer \( 729 < 5400 \). - Berechnen wir für \( n = 7 \): - \( B(7) = 3^7 = 2187 \) m² - \( A(7) = 1200 + 700 \times 7 = 6300 \) m² Noch \( 2187 < 6300 \). - Berechnen wir für \( n = 8 \): - \( B(8) = 3^8 = 6561 \) m² - \( A(8) = 1200 + 700 \times 8 = 7000 \) m² Endlich \( 6561 > 7000 \), also sind die Algen ab Woche 8 über die gesamte Wasserfläche verteilt. **Antwort:** Die ganze Wasserfläche ist ab der 8. Woche mit Algen bedeckt.