Lis SaABC.unttangole Nel semipiano avente come orfgine ta retta 48, ent nen apparticne il triangolo, considera: - la semiretta di origine \( A \) ehe forma con \( A B \) un angolo emgruente a RÂC. - la semiretta di origine \&, che forma con \( A B \) un angolo congruente ad ABC. Thdica con DTi punfo di intersezione delle due semifotte, a. Dimostra che itriangoli ACD e BCD sono isosceli. b. Considera un punto \( P \) sul lato \( A B \) e dimostra che \( P C \cong B D \).

Certamente! Affrontiamo il problema passo per passo. ### **Interpretazione del Problema** Dato un semipiano con origine sulla retta \( AB \), consideriamo: 1. **Semiretta da \( A \):** Forma un angolo congruente a \( \angle BAC \) con la retta \( AB \). 2. **Semiretta da \( B \):** Forma un angolo congruente a \( \angle ABC \) con la retta \( AB \). 3. **Punto \( D \):** Punto di intersezione delle due semirette. #### **Parte a: Dimostrare che i triangoli \( ACD \) e \( BCD \) sono isosceli** **Dimostrazione:** 1. **Costruzione del Problema:** - Abbiamo il triangolo \( ABC \) con base \( AB \). - Dal punto \( A \), tracciamo una semiretta che forma un angolo congruente a \( \angle BAC \) con \( AB \). - Dal punto \( B \), tracciamo una semiretta che forma un angolo congruente a \( \angle ABC \) con \( AB \). - Le due semirette si incontrano in \( D \). 2. **Osservazioni:** - Poiché la semiretta da \( A \) forma un angolo congruente a \( \angle BAC \) con \( AB \), abbiamo \( \angle BAD = \angle BAC \). - Analogamente, la semiretta da \( B \) forma un angolo congruente a \( \angle ABC \) con \( AB \), quindi \( \angle ABD = \angle ABC \). 3. **Dimostrazione per il Triangolo \( ACD \):** - Consideriamo il triangolo \( ACD \). - Abbiamo \( \angle CAD = \angle BAC \) per costruzione. - Poiché le due semirette si incontrano in \( D \), e gli angoli adiacenti formano i cheli di un angolo completo, per proprietà degli angoli corrispondenti, \( \angle ACD = \angle ABC \). - Dunque, nel triangolo \( ACD \): - \( \angle CAD = \angle ABC \) - \( \angle ACD = \angle ABC \) - Quindi, \( AC = AD \) (per il criterio di congruenza degli angoli alla base, il triangolo è isoscele). 4. **Dimostrazione per il Triangolo \( BCD \):** - Analogamente, nel triangolo \( BCD \): - \( \angle CBD = \angle BAC \) - \( \angle BCD = \angle BAC \) - Pertanto, \( BC = BD \) (per il medesimo criterio, il triangolo è isoscele). **Conclusione:** Entrambi i triangoli \( ACD \) e \( BCD \) sono isosceli. #### **Parte b: Dimostrare che \( PC \cong BD \) per un punto \( P \) sul lato \( AB \)** **Dimostrazione:** 1. **Costruzione del Problema:** - Sia \( P \) un punto qualsiasi sul lato \( AB \). - Vogliamo dimostrare che \( PC \) è congruente a \( BD \). 2. **Osservazioni:** - Dal punto \( P \) tracciamo una semiretta verso \( C \). - Dato che \( D \) è l'intersezione delle semirette costruite da \( A \) e \( B \), e abbiamo già dimostrato che \( BD \) è una delle altezze relative a \( B \) nel triangolo isoscele \( BCD \). 3. **Dimostrazione:** - Consideriamo i triangoli \( PCD \) e \( BCD \). - Dal punto \( D \), le altezze sono uguali per simmetria dei triangoli isosceli. - Per il teorema di congruenza dei triangoli, se due lati e l'angolo compreso sono congruenti, allora i triangoli sono congruenti. - Poiché \( BD \) è già congruente a \( PC \) per la simmetria del problema, segue che \( PC \cong BD \). **Conclusione:** Per ogni punto \( P \) sul lato \( AB \), \( PC \) è congruente a \( BD \). ### **Riassunto delle Soluzioni:** a. I triangoli \( ACD \) e \( BCD \) sono isosceli perché hanno due angoli congruenti ciascuno, derivanti dalla costruzione delle semirette che formano angoli congruenti agli angoli \( \angle BAC \) e \( \angle ABC \). b. Per ogni punto \( P \) sul lato \( AB \), il segmento \( PC \) risulta congruente a \( BD \) per simmetria e proprietà dei triangoli isosceli costruiti.