(a) Esercizio (6 Punti)
Studiare la convergenza della serie

Ask by Moran Stuart. in Italy

Jan 05,2025

Question

(a) Esercizio (6 Punti) Studiare la convergenza della serie $$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt[4]{n^{3}}} $$

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Per studiare la convergenza della serie

$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt[4]{n^{3}}},
$$

procediamo nel seguente modo:

### 1. Semplificazione del Termine Generale

Consideriamo il termine generale della serie:

$$
a_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt[4]{n^{3}}}
$$

Semplifichiamo $$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$$:

$$
\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
$$

Quindi,

$$
a_n = \frac{1}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) \cdot \sqrt[4]{n^{3}}}
$$

### 2. Valutazione Asintotica

Per $$n$$ grande, $$\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \approx 2\sqrt{n}$$, quindi:

$$
a_n \approx \frac{1}{2\sqrt{n} \cdot n^{3/4}} = \frac{1}{2n^{5/4}}
$$

### 3. Test del Confronto

Confrontiamo la serie data con la serie $$\sum \frac{1}{n^{5/4}}$$, che è una serie a termine generale $$b_n = \frac{1}{n^{5/4}}$$.

La serie $$\sum \frac{1}{n^{p}}$$ converge se $$p > 1$$. Qui, $$p = \frac{5}{4} > 1$$, quindi la serie $$\sum b_n$$ converge.

Poiché per $$n$$ sufficientemente grande, $$a_n \approx \frac{1}{2}b_n$$, possiamo applicare il **test del confronto**:

- Se $$\sum b_n$$ converge e $$0 \leq a_n \leq C b_n$$ per qualche costante $$C > 0$$ e per $$n$$ grande, allora anche $$\sum a_n$$ converge.

Nel nostro caso, esiste una costante $$C = \frac{1}{2}$$ tale che $$a_n \leq C b_n$$ per $$n$$ grande.

### 4. Conclusione

Per il test del confronto, la serie

$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt[4]{n^{3}}}
$$

**converge**.
La serie converge.

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Studiare la convergenza della serie

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