$$ m x^{\prime \prime}(t)+k e^{-\alpha t} x(t)=0 $$ La ecuación anterior modela un resorte envejecido donde la constante de- cae con el tiempo. Obtenga una solución analítica. Note que mediante el uso de gráficas podríamos analizar la relación del modelo matemático ( constante del resorte ) y el comportamiento de las soluciones. Para ello, basta con graficar las soluciones para diferentes valores del parámetro alfa con m y k fijos.

Question

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Consideremos la ecuación diferencial

$$
m\, x''(t) + k\, e^{-\alpha t}\, x(t) = 0.
$$

Dividiendo por $$ m $$ se escribe de la forma

$$
x''(t) + \omega^2 e^{-\alpha t}\, x(t) = 0,\qquad \text{donde } \omega^2 = \frac{k}{m}.
$$

El coeficiente dependiente del tiempo nos sugiere realizar un cambio de variable que transforme la ecuación en una forma reconocible, normalmente la ecuación de Bessel. Definamos

$$
\tau = \frac{2\omega}{\alpha}e^{-\frac{\alpha t}{2}}.
$$

Observemos que este cambio de variable se utiliza comúnmente para transformar ecuaciones de la forma

$$
x''(t) + \omega^2 e^{-\alpha t} x(t)=0
$$

en la ecuación de Bessel de orden cero.

### Derivadas respecto a $$ t $$

Calculamos la derivada de $$\tau$$ con respecto a $$ t $$:

$$
\frac{d\tau}{dt} = \frac{2\omega}{\alpha}\left(-\frac{\alpha}{2}\right)e^{-\frac{\alpha t}{2}} = -\omega e^{-\frac{\alpha t}{2}}.
$$

Notamos que la relación puede expresarse en función de $$\tau$$ ya que, de la definición de $$\tau$$, se tiene

$$
e^{-\frac{\alpha t}{2}} = \frac{\alpha \tau}{2\omega}.
$$

Así,

$$
\frac{d\tau}{dt} = -\omega \left(\frac{\alpha \tau}{2\omega}\right) = -\frac{\alpha}{2}\tau.
$$

Sea $$ x(t) = X(\tau) $$. Por la regla de la cadena la primera derivada es

$$
x'(t) = \frac{dX}{d\tau}\frac{d\tau}{dt} = -\frac{\alpha}{2}\tau\, X'(\tau).
$$

Procedemos a calcular la segunda derivada. Derivamos $$ x'(t) $$ con respecto a $$ t $$:

$$
x''(t) = \frac{d}{dt}\left[-\frac{\alpha}{2}\tau\, X'(\tau)\right] = -\frac{\alpha}{2}\left(\frac{d\tau}{dt}\, X'(\tau) + \tau\, \frac{dX'(\tau)}{dt}\right).
$$

Pero $$\displaystyle \frac{dX'(\tau)}{dt} = \frac{dX'(\tau)}{d\tau}\frac{d\tau}{dt} = X''(\tau)\frac{d\tau}{dt}$$. Utilizando nuevamente $$\frac{d\tau}{dt}=-\frac{\alpha}{2}\tau$$ obtenemos

$$
x''(t) = -\frac{\alpha}{2}\left[-\frac{\alpha}{2}\tau\, X'(\tau) + \tau\left(X''(\tau)\left(-\frac{\alpha}{2}\tau\right)\right)\right].
$$

Simplificamos:

$$
x''(t) = \frac{\alpha^2}{4}\tau\, X'(\tau) + \frac{\alpha^2}{4}\tau^2\, X''(\tau).
$$

### Sustitución en la ecuación diferencial

Sustituimos $$ x''(t) $$ y expresamos $$ e^{-\alpha t} $$ en términos de $$\tau$$. Dado que

$$
e^{-\alpha t} = \left(e^{-\frac{\alpha t}{2}}\right)^2,
$$

y usando la relación anterior

$$
e^{-\frac{\alpha t}{2}} = \frac{\alpha \tau}{2\omega} \quad \Longrightarrow \quad e^{-\alpha t} = \left(\frac{\alpha \tau}{2\omega}\right)^2 = \frac{\alpha^2}{4\omega^2}\tau^2,
$$

la ecuación se transforma en

$$
\frac{\alpha^2}{4}\tau\, X'(\tau) + \frac{\alpha^2}{4}\tau^2\, X''(\tau) + \omega^2 \left(\frac{\alpha^2}{4\omega^2}\tau^2\right) X(\tau) = 0.
$$

Observa que $$\omega^2$$ se cancela en el último término:

$$
\frac{\alpha^2}{4}\tau\, X'(\tau) + \frac{\alpha^2}{4}\tau^2\, X''(\tau) + \frac{\alpha^2}{4}\tau^2\, X(\tau) = 0.
$$

Dividimos la ecuación por el factor común $$\frac{\alpha^2}{4}$$:

$$
\tau\, X'(\tau) + \tau^2\, X''(\tau) + \tau^2\, X(\tau) = 0.
$$

Reescribiendo la ecuación,

$$
\tau^2\, X''(\tau) + \tau\, X'(\tau) + \tau^2\, X(\tau) = 0.
$$

### Relación con la ecuación de Bessel

La ecuación de Bessel de orden $$\nu$$ se escribe como

$$
\tau^2\, Y''(\tau) + \tau\, Y'(\tau) + (\tau^2 - \nu^2) Y(\tau) = 0.
$$

Comparando con la ecuación obtenida, notamos que se tiene

$$
\tau^2\, X''(\tau) + \tau\, X'(\tau) + \bigl(\tau^2 - 0\bigr) X(\tau) = 0,
$$

es decir, se trata de la ecuación de Bessel de orden cero ($$\nu=0$$).

### Solución general

La solución general de la ecuación de Bessel de orden cero es

$$
X(\tau) = A\, J_0(\tau) + B\, Y_0(\tau),
$$

donde $$J_0$$ y $$Y_0$$ son las funciones de Bessel de primera y segunda especie de orden cero, respectivamente, y $$A$$ y $$B$$ son constantes arbitrarias.

Regresando a la variable $$ t $$, recordando que

$$
\tau = \frac{2\omega}{\alpha}e^{-\frac{\alpha t}{2}}, \quad \text{con } \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
$$

obtenemos la solución analítica de la ecuación dada:

$$
x(t) = A\, J_0\left(\frac{2\sqrt{\frac{k}{m}}}{\alpha}\, e^{-\frac{\alpha t}{2}}\right) + B\, Y_0\left(\frac{2\sqrt{\frac{k}{m}}}{\alpha}\, e^{-\frac{\alpha t}{2}}\right).
$$

Esta expresión representa la solución general para el modelo del resorte envejecido con una constante que decrece exponencialmente en el tiempo.

Para estudio gráfico se sugiere fijar valores para $$ m $$ y $$ k $$ y explorar el comportamiento de $$ x(t) $$ para diferentes valores del parámetro $$\alpha$$.
La solución analítica de la ecuación diferencial $$ m\, x''(t) + k\, e^{-\alpha t}\, x(t) = 0 $$ es: $$ x(t) = A\, J_0\left(\frac{2\sqrt{\frac{k}{m}}}{\alpha}\, e^{-\frac{\alpha t}{2}}\right) + B\, Y_0\left(\frac{2\sqrt{\frac{k}{m}}}{\alpha}\, e^{-\frac{\alpha t}{2}}\right), $$ donde $$ J_0 $$ y $$ Y_0 $$ son las funciones de Bessel de primera y segunda especie de orden cero, respectivamente, y $$ A $$ y $$ B $$ son constantes arbitrarias.

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