Aufgabe: (2 Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(20|13| 0) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 6 x_{1}+8 x_{2}=24 \). Berechne dabei auch den Lotfußpunkt. Lotfußpunkt L:(

Um den Abstand des Punktes \( P(20|13|0) \) von der Ebene \( E: 6 x_{1} + 8 x_{2} = 24 \) zu ermitteln, beginnen wir damit, die Normalenform der Ebene in eine Standardform zu bringen. Die Ebene kann umgeschrieben werden als \( 6x_1 + 8x_2 + 0x_3 - 24 = 0 \). Der Normalenvektor ist \( \mathbf{n} = (6, 8, 0) \). Der Abstand \( d \) eines Punktes \( P(x_0, y_0, z_0) \) zu einer Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \) lässt sich mit folgender Formel berechnen: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Setzen wir nun die Werte ein: \( A=6, B=8, C=0, D=-24, (x_0, y_0, z_0) = (20, 13, 0) \). \[ d = \frac{|6 \cdot 20 + 8 \cdot 13 - 24|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|120 + 104 - 24|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{|200|}{\sqrt{100}} = \frac{200}{10} = 20 \] Der Abstand des Punktes \( P \) von der Ebene \( E \) beträgt also 20. Um nun den Lotfußpunkt \( L \) zu berechnen, verwenden wir die Richtung des Normalenvektors \( \mathbf{n} = (6, 8, 0) \). Der Lotfußpunkt \( L(x_L, y_L, z_L) \) ist dann gegeben durch \( P - d \cdot \frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} \): \[ |\mathbf{n}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \] Der Betrag des Normalenvektors ist 10, also: \[ L = P - 20 \cdot \frac{(6, 8, 0)}{10} = (20 - 12, 13 - 16, 0 - 0) = (8, -3, 0) \] Der Lotfußpunkt \( L \) ist also \( (8|-3|0) \).