1. Seja \( f \) a função definida por: 1.1. Escreve a funçāo \( f \) na forma \( f(x)=a(x-h)^{2}+k \). 1.2. Constrói uma tabela de variação da função \( f \) e indica os intervalos de monotonia da função.

Para resolver as questões propostas, vamos assumir que a função \( f \) é uma função quadrática da forma geral: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] onde \( a \), \( b \) e \( c \) são constantes reais, e \( a \neq 0 \). ### 1.1. Escrever a função \( f \) na forma \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) A forma \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) é conhecida como **forma canônica** ou **forma de vértice** da função quadrática. Para converter a forma geral para a forma canônica, seguimos os seguintes passos: 1. **Completar o quadrado:** Começamos com a forma geral: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] Primeiro, fatoramos o coeficiente \( a \) dos termos quadráticos e lineares: \[ f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \] Em seguida, completamos o quadrado dentro do parênteses. Para isso, adicionamos e subtraímos \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\): \[ f(x) = a\left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right] + c \] 2. **Simplificar a expressão:** Distribuímos o \( a \): \[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c \] \[ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \] Portanto, a forma canônica é: \[ f(x) = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) \] Identificando os parâmetros \( h \) e \( k \): \[ h = -\frac{b}{2a} \] \[ k = c - \frac{b^2}{4a} \] **Exemplo:** Se tivermos \( f(x) = 2x^2 + 8x + 5 \), então: \[ h = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2 \] \[ k = 5 - \frac{64}{16} = 5 - 4 = 1 \] Portanto, a forma canônica é: \[ f(x) = 2(x + 2)^2 + 1 \] ### 1.2. Construir uma tabela de variação da função \( f \) e indicar os intervalos de monotonia da função A tabela de variação de uma função quadrática depende da abertura da parábola (determinado pelo sinal de \( a \)) e da posição do vértice. #### Passos para construir a tabela de variação: 1. **Determinar o vértice \((h, k)\):** - Já obtivemos \( h = -\frac{b}{2a} \) e \( k = c - \frac{b^2}{4a} \). 2. **Determinar a concavidade:** - Se \( a > 0 \), a parábola abre para cima e o vértice é o **mínimo** da função. - Se \( a < 0 \), a parábola abre para baixo e o vértice é o **máximo** da função. 3. **Determinar os intervalos de monotonia:** - **Se \( a > 0 \):** - A função é **decrescente** no intervalo \( (-\infty, h) \). - A função é **crescente** no intervalo \( (h, +\infty) \). - **Se \( a < 0 \):** - A função é **crescente** no intervalo \( (-\infty, h) \). - A função é **decrescente** no intervalo \( (h, +\infty) \). #### Exemplo Prático: Consideremos a função \( f(x) = 2(x + 2)^2 + 1 \), cuja forma canônica já foi determinada. 1. **Vértice:** \[ h = -2 \] \[ k = 1 \] 2. **Concavidade:** \[ a = 2 > 0 \Rightarrow \text{Parábola abre para cima} \] 3. **Intervalos de monotonia:** - Decrescente em \( (-\infty, -2) \) - Crescente em \( (-2, +\infty) \) 4. **Tabela de Variação:** | \( x \) | \( f(x) \) | |---------------------|--------------------------| | \( x < -2 \) | Decrescente | | \( x = -2 \) | Mínimo em \( ( -2, 1 ) \)| | \( x > -2 \) | Crescente | **Gráfico da Função:** A parábola possui um ponto mínimo em \((-2, 1)\) e abre para cima. À medida que \( x \) se afasta de -2, \( f(x) \) aumenta.  *(Insira o gráfico correspondente)* #### Resumo: - **Forma Canônica:** \( f(x) = 2(x + 2)^2 + 1 \) - **Vértice:** \((-2, 1)\) - **Concavidade:** Para cima - **Intervalos de Monotonia:** - Decrescente em \( (-\infty, -2) \) - Crescente em \( (-2, +\infty) \) Caso tenha uma função específica que deseja analisar, por favor, forneça a expressão completa de \( f(x) \) para uma análise mais detalhada.