1. Seja $$ f $$ a função definida por: 1.1. Escreve a funçāo $$ f $$ na forma $$ f(x)=a(x-h)^{2}+k $$. 1.2. Constrói uma tabela de variação da função $$ f $$ e indica os intervalos de monotonia da função.

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Para resolver as questões propostas, vamos assumir que a função $$ f $$ é uma função quadrática da forma geral: $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ onde $$ a $$, $$ b $$ e $$ c $$ são constantes reais, e $$ a \neq 0 $$. ### 1.1. Escrever a função $$ f $$ na forma $$ f(x) = a(x - h)^2 + k $$ A forma $$ f(x) = a(x - h)^2 + k $$ é conhecida como **forma canônica** ou **forma de vértice** da função quadrática. Para converter a forma geral para a forma canônica, seguimos os seguintes passos: 1. **Completar o quadrado:** Começamos com a forma geral: $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ Primeiro, fatoramos o coeficiente $$ a $$ dos termos quadráticos e lineares: $$ f(x) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c $$ Em seguida, completamos o quadrado dentro do parênteses. Para isso, adicionamos e subtraímos $$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$: $$ f(x) = a\left[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right] + c $$ 2. **Simplificar a expressão:** Distribuímos o $$ a $$: $$ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{b}{2a}\right)^2 + c $$ $$ f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) $$ Portanto, a forma canônica é: $$ f(x) = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right) $$ Identificando os parâmetros $$ h $$ e $$ k $$: $$ h = -\frac{b}{2a} $$ $$ k = c - \frac{b^2}{4a} $$ **Exemplo:** Se tivermos $$ f(x) = 2x^2 + 8x + 5 $$, então: $$ h = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2 $$ $$ k = 5 - \frac{64}{16} = 5 - 4 = 1 $$ Portanto, a forma canônica é: $$ f(x) = 2(x + 2)^2 + 1 $$ ### 1.2. Construir uma tabela de variação da função $$ f $$ e indicar os intervalos de monotonia da função A tabela de variação de uma função quadrática depende da abertura da parábola (determinado pelo sinal de $$ a $$) e da posição do vértice. #### Passos para construir a tabela de variação: 1. **Determinar o vértice $$(h, k)$$:** - Já obtivemos $$ h = -\frac{b}{2a} $$ e $$ k = c - \frac{b^2}{4a} $$. 2. **Determinar a concavidade:** - Se $$ a > 0 $$, a parábola abre para cima e o vértice é o **mínimo** da função. - Se $$ a < 0 $$, a parábola abre para baixo e o vértice é o **máximo** da função. 3. **Determinar os intervalos de monotonia:** - **Se $$ a > 0 $$:** - A função é **decrescente** no intervalo $$ (-\infty, h) $$. - A função é **crescente** no intervalo $$ (h, +\infty) $$. - **Se $$ a < 0 $$:** - A função é **crescente** no intervalo $$ (-\infty, h) $$. - A função é **decrescente** no intervalo $$ (h, +\infty) $$. #### Exemplo Prático: Consideremos a função $$ f(x) = 2(x + 2)^2 + 1 $$, cuja forma canônica já foi determinada. 1. **Vértice:** $$ h = -2 $$ $$ k = 1 $$ 2. **Concavidade:** $$ a = 2 > 0 \Rightarrow \text{Parábola abre para cima} $$ 3. **Intervalos de monotonia:** - Decrescente em $$ (-\infty, -2) $$ - Crescente em $$ (-2, +\infty) $$ 4. **Tabela de Variação:** | $$ x $$ | $$ f(x) $$ | |---------------------|--------------------------| | $$ x < -2 $$ | Decrescente | | $$ x = -2 $$ | Mínimo em $$ ( -2, 1 ) $$| | $$ x > -2 $$ | Crescente | **Gráfico da Função:** A parábola possui um ponto mínimo em $$(-2, 1)$$ e abre para cima. À medida que $$ x $$ se afasta de -2, $$ f(x) $$ aumenta. ![Gráfico da função f(x) = 2(x + 2)^2 + 1](https://i.imgur.com/your-graph-link.png) *(Insira o gráfico correspondente)* #### Resumo: - **Forma Canônica:** $$ f(x) = 2(x + 2)^2 + 1 $$ - **Vértice:** $$(-2, 1)$$ - **Concavidade:** Para cima - **Intervalos de Monotonia:** - Decrescente em $$ (-\infty, -2) $$ - Crescente em $$ (-2, +\infty) $$ Caso tenha uma função específica que deseja analisar, por favor, forneça a expressão completa de $$ f(x) $$ para uma análise mais detalhada. Para a função $$ f(x) = 2x^2 + 8x + 5 $$: 1. **Forma Canônica:** $$ f(x) = 2(x + 2)^2 + 1 $$ - Vértice: $$(-2, 1)$$ - Parábola abre para cima 2. **Intervalos de Monotonia:** - Decrescente em $$ (-\infty, -2) $$ - Crescente em $$ (-2, +\infty) $$ **Tabela de Variação:** | $$ x $$ | $$ f(x) $$ | |---------------------|--------------------------| | $$ x < -2 $$ | Decrescente | | $$ x = -2 $$ | Mínimo em $$ ( -2, 1 ) $$| | $$ x > -2 $$ | Crescente | ![Gráfico da função f(x) = 2(x + 2)^2 + 1](https://i.imgur.com/your-graph-link.png)

Seja a função definida por:
1.1. Escreve a funçāo na forma .
1.2. Constrói uma tabela de variação da função e indica os intervalos de monotonia da
função.

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