Find two subspaces $$ A $$ and $$ B $$ of $$ V=R^{4}(R) $$. $$ \operatorname{dim} A=2 $$ and $$ A \cap B=1 $$. $$ V=R^{4}(R) $$ के दो उपस्थान $$ A $$ और $$ B $$ इस प्रकार खोजिए कि $$ \operatorname{dim} A=2 \operatorname{dim} B=3 $$ और $$ \operatorname{dim} A \cap B=1 $$.

Question

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आप $$ V = \mathbb{R}^4 $$ के दो उपस्थान $$ A $$ और $$ B $$ निम्न प्रकार से चुन सकते हैं ताकि:
- $$ \dim A = 2 $$
- $$ \dim B = 3 $$
- $$ \dim (A \cap B) = 1 $$

### उदाहरण:

1. **उपस्थान $$ A $$:**
   $$
   A = \left\{ (x, y, 0, 0) \mid x, y \in \mathbb{R} \right\}
   $$
   इस उपस्थान का विमा $$ 2 $$ है क्योंकि यह पहले दो मानक आधार वेक्टर $$ e_1 $$ और $$ e_2 $$ द्वारा स्पैन किया गया है।

2. **उपस्थान $$ B $$:**
   $$
   B = \left\{ (x, 0, z, w) \mid x, z, w \in \mathbb{R} \right\}
   $$
   इस उपस्थान का विमा $$ 3 $$ है क्योंकि यह पहले, तीसरे और चौथे मानक आधार वेक्टर $$ e_1 $$, $$ e_3 $$, और $$ e_4 $$ द्वारा स्पैन किया गया है।

### परस्पर अवतलन $$ A \cap B $$:

दोनों उपस्थानों का छेदन बिंदु $$ A \cap B $$ निम्न प्रकार से निर्धारित किया जा सकता है:
$$
A \cap B = \left\{ (x, 0, 0, 0) \mid x \in \mathbb{R} \right\}
$$
यह एक रेखा है, जिसका विमा $$ 1 $$ है।

### संक्षेप में:
- **उपस्थान $$ A $$:** $$ A = \{(x, y, 0, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\} $$ (विमा $$ 2 $$)
- **उपस्थान $$ B $$:** $$ B = \{(x, 0, z, w) \mid x, z, w \in \mathbb{R}\} $$ (विमा $$ 3 $$)
- **छेदन $$ A \cap B $$:** $$ \{(x, 0, 0, 0) \mid x \in \mathbb{R}\} $$ (विमा $$ 1 $$)

इस प्रकार, उपस्थान $$ A $$ और $$ B $$ की वामाओं के अनुरूप चयन पूरा होता है।
Two subspaces $$ A $$ and $$ B $$ of $$ V = \mathbb{R}^4 $$ are chosen such that: - $$ \dim A = 2 $$ - $$ \dim B = 3 $$ - $$ \dim (A \cap B) = 1 $$ **Example:** - $$ A = \{(x, y, 0, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\} $$ (Dimension 2) - $$ B = \{(x, 0, z, w) \mid x, z, w \in \mathbb{R}\} $$ (Dimension 3) - $$ A \cap B = \{(x, 0, 0, 0) \mid x \in \mathbb{R}\} $$ (Dimension 1) This satisfies the given conditions.

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