1) मैक्लोरिन प्रमेय से \( \left(\sin ^{-1} x\right)^{2} \) का \( x \) की घालो में प्रसार कीजिए।

मैक्लोरिन प्रमेय का उपयोग करके \( \left(\sin^{-1} x\right)^{2} \) का \( x \) के घातों में विस्तार करने के लिए पहले \( \sin^{-1} x \) का मैक्लोरिन श्रृंखला ज्ञात करते हैं और फिर उसे वर्ग करते हैं। ### चरण 1: \( \sin^{-1} x \) का मैक्लोरिन श्रृंखला \( \sin^{-1} x \) का मैक्लोरिन श्रृंखला निम्न प्रकार से है: \[ \sin^{-1} x = x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3x^{5}}{40} + \frac{5x^{7}}{112} + \cdots \] ### चरण 2: \( \left(\sin^{-1} x\right)^{2} \) का विस्तार अब, \( \left(\sin^{-1} x\right)^{2} \) को वर्ग करते हैं: \[ \left(\sin^{-1} x\right)^{2} = \left( x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3x^{5}}{40} + \frac{5x^{7}}{112} + \cdots \right)^{2} \] इसको विस्तार करने पर हम प्रत्येक पद को क्रमशः गुणा करेंगे: \[ \begin{align*} \left(\sin^{-1} x\right)^{2} &= x^{2} + 2 \left( x \cdot \frac{x^{3}}{6} \right) + \left( \frac{x^{3}}{6} \right)^{2} + 2 \left( x \cdot \frac{3x^{5}}{40} \right) + \cdots \\ &= x^{2} + \frac{2x^{4}}{6} + \frac{x^{6}}{36} + \frac{6x^{6}}{40} + \cdots \\ &= x^{2} + \frac{x^{4}}{3} + \left( \frac{1}{36} + \frac{6}{40} \right) x^{6} + \cdots \\ &= x^{2} + \frac{x^{4}}{3} + \frac{8x^{6}}{45} + \cdots \end{align*} \] ### अंतिम परिणाम इस प्रकार, \( \left(\sin^{-1} x\right)^{2} \) का मैक्लोरिन श्रृंखला विस्तार निम्नानुसार है: \[ \left(\sin^{-1} x\right)^{2} = x^{2} + \frac{1}{3}x^{4} + \frac{8}{45}x^{6} + \frac{44}{315}x^{8} + \cdots \] जहाँ आगे के पद भी इसी प्रकार के गुणा और विस्तार से प्राप्त किए जा सकते हैं।