1) मैक्लोरिन प्रमेय से $$ \left(\sin ^{-1} x\right)^{2} $$ का $$ x $$ की घालो में प्रसार कीजिए।

Question

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मैक्लोरिन प्रमेय का उपयोग करके $$ \left(\sin^{-1} x\right)^{2} $$ का $$ x $$ के घातों में विस्तार करने के लिए पहले $$ \sin^{-1} x $$ का मैक्लोरिन श्रृंखला ज्ञात करते हैं और फिर उसे वर्ग करते हैं।

### चरण 1: $$ \sin^{-1} x $$ का मैक्लोरिन श्रृंखला

$$ \sin^{-1} x $$ का मैक्लोरिन श्रृंखला निम्न प्रकार से है:

$$
\sin^{-1} x = x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3x^{5}}{40} + \frac{5x^{7}}{112} + \cdots
$$

### चरण 2: $$ \left(\sin^{-1} x\right)^{2} $$ का विस्तार

अब, $$ \left(\sin^{-1} x\right)^{2} $$ को वर्ग करते हैं:

$$
\left(\sin^{-1} x\right)^{2} = \left( x + \frac{x^{3}}{6} + \frac{3x^{5}}{40} + \frac{5x^{7}}{112} + \cdots \right)^{2}
$$

इसको विस्तार करने पर हम प्रत्येक पद को क्रमशः गुणा करेंगे:

$$
\begin{align*}
\left(\sin^{-1} x\right)^{2} &= x^{2} + 2 \left( x \cdot \frac{x^{3}}{6} \right) + \left( \frac{x^{3}}{6} \right)^{2} + 2 \left( x \cdot \frac{3x^{5}}{40} \right) + \cdots \
&= x^{2} + \frac{2x^{4}}{6} + \frac{x^{6}}{36} + \frac{6x^{6}}{40} + \cdots \
&= x^{2} + \frac{x^{4}}{3} + \left( \frac{1}{36} + \frac{6}{40} \right) x^{6} + \cdots \
&= x^{2} + \frac{x^{4}}{3} + \frac{8x^{6}}{45} + \cdots
\end{align*}
$$

### अंतिम परिणाम

इस प्रकार, $$ \left(\sin^{-1} x\right)^{2} $$ का मैक्लोरिन श्रृंखला विस्तार निम्नानुसार है:

$$
\left(\sin^{-1} x\right)^{2} = x^{2} + \frac{1}{3}x^{4} + \frac{8}{45}x^{6} + \frac{44}{315}x^{8} + \cdots
$$

जहाँ आगे के पद भी इसी प्रकार के गुणा और विस्तार से प्राप्त किए जा सकते हैं।
$$ \left(\sin^{-1} x\right)^{2} = x^{2} + \frac{1}{3}x^{4} + \frac{8}{45}x^{6} + \frac{44}{315}x^{8} + \cdots $$

मैक्लोरिन प्रमेय से का की
घालो में प्रसार कीजिए।

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