\( \quad=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{6}}{45}-\ldots \) भैक्लॉरिन-प्रमेय से \( \left(\sin ^{-1} x\right)^{2} \) का \( x \) की घातों में प्रसार के \( y=\left(\sin ^{-1} x\right)^{2} \), तो अवकलन करने पर,
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Extra Insights
जब आप \( y = \left(\sin^{-1} x\right)^{2} \) का अवकलन करते हैं, तो सबसे पहले चेन नियम का उपयोग करते हैं। आपको \( \sin^{-1} x \) का अवकलन करना होगा ताकि आप अंततः \( y' \) प्राप्त कर सकें। इसके लिए, अवकलन करने पर \( y' = 2 \sin^{-1} x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \) प्राप्त होगा। यह संबंध इस बात का संकेत है कि जैसे-जैसे \( x \) का मान बढ़ता है, \( \sin^{-1} x \) का मान भी बढ़ता है, और इससे आप \( y \) के मूल्य को प्रभावित करने वाले प्रभाव को समझ सकते हैं। इस प्रसार का एक मजेदार पहलू यह है कि यह सटीकता से "विभिन्न" त्रिकोणमितीय फ़ंक्शनों का संबंध दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप इसे \( x \) के बहुत छोटे मानों पर देखें, तो यह एक सरल संतुलित क्यूबिक विकास में बदल सकता है। इससे आपको यह समझने में मदद मिलती है कि समीकरणों की जटिलता कैसे घटाई जा सकती है, जिससे गणितीय समस्याओं का हल खोजना आसान हो जाता है।